已知函数f(x)=lnx+ax(a>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)如果P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的点,且x0∈(0,3),若以P(x0,y0
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已知函数f(x)=lnx+ax(a>0).(1)求f(x)的单调区间;(2)如果P(x0,y0)是曲线y=f(x)上的点,且x0∈(0,3),若以P(x0,y0
题型:东城区二模
难度:
来源:
已知函数
f(x)=lnx+
a
x
(a>0).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)如果P(x
0
,y
0
)是曲线y=f(x)上的点,且x
0
∈(0,3),若以P(x
0
,y
0
)为切点的切线的斜率
k≤
1
2
恒成立,求实数a的最小值.
答案
(Ⅰ)
f(x)=lnx+
a
x
,定义域为(0,+∞),
则
f′(x)=
1
x
-
a
x
2
=
x-a
x
2
.
因为a>0,由f"(x)>0,得x∈(a,+∞),由f"(x)<0,得x∈(0,a),
所以f(x)的单调递增区间为(a,+∞),单调递减区间为(0,a).
(Ⅱ)由题意,以P(x
0
,y
0
)为切点的切线的斜率k满足
k=f′(
x
0
)=
x
0
-a
x
20
≤
1
2
(0<x
0
<3),
所以
a≥-
1
2
x
0
2
+
x
0
对0<x
0
<3恒成立.
又当x
0
>0时,
-
3
2
<-
1
2
x
0
2
+
x
0
≤
1
2
,
所以a的最小值为
1
2
.
举一反三
设函数f(x)=lnx-ax,a∈R.
(1)当x=1时,函数f(x)取得极值,求a的值;
(2)当a>0时,求函数f(x)在区间[1,2]的最大值.
题型:不详
难度:
|
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函数y=x-ln(x+1)的单调递减区间为______.
题型:不详
难度:
|
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函数y=(x+2)ln(x+2)的单调递减区间是______.
题型:不详
难度:
|
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设函数y=f(x)=ax
3
+bx
2
+cx+d的图象与y轴的交点为P点,曲线在点P处的切线方程为12x-y-4=0.若函数在x=2处取得极值0,则函数的单调减区间为______.
题型:不详
难度:
|
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已知函数
f(x)=
-
x
3
+
x
2
+bx+c,x<1
alnx,x≥1
的图象过坐标原点O,且在点(-1,f(-1))处的切线的斜率是-5.
(Ⅰ)求实数b,c的值;
(Ⅱ)求f(x)在区间[-1,2]上的最大值;
(Ⅲ)对任意给定的正实数a,曲线y=f(x)上是否存在两点P、Q,使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在y轴上?说明理由.
题型:珠海二模
难度:
|
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