已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．（Ⅰ）求实数b，c的值；  

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已知函数f(x)=-x3+x2+bx+c，x＜1alnx，x≥1的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．（Ⅰ）求实数b，c的值；  

题型：珠海二模难度：来源：
已知函数f(x)=





-x3+x2+bx+c，x＜1
alnx，x≥1
的图象过坐标原点O，且在点（-1，f（-1））处的切线的斜率是-5．
（Ⅰ）求实数b，c的值；  
（Ⅱ）求f（x）在区间[-1，2]上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数a，曲线y=f（x）上是否存在两点P、Q，使得△POQ是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y轴上？说明理由．
答案
（Ⅰ）当x＜1时，f（x）=-x3+x2+bx+c，则f"（x）=-3x2+2x+b．
依题意得：





f(0)=0
f′(-1)=-5
，即





c=0
-3-2+b=-5
解得b=c=0
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=





-x3+x2，x＜1
alnx，x≥1

①当-1≤x＜1时，f′(x)=-3x2+2x=-3x(x-
2
3
)，
令f"（x）=0得x=0或x=
2
3

当x变化时，f"（x），f（x）的变化情况如下表：
举一反三
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x（-1，0）0(0，
2
3
)
2
3
(
2
3
，1)
f"（x）-0+0-
f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减
已知函数f（x）=kx3-x2+x-5在R上单调递增，则实数k的取值范围是（　　）
A．(
1
3
，+∞)		B．[
1
3
，+∞)		C．(0，
1
3
)		D．(0，
1
3
]
设函数f（x）=x3+ax2-a2x+1，g（x）=ax2-2x+1，其中实数a≠0．
（Ⅰ）若a＞0，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当函数y=f（x）与y=g（x）的图象只有一个公共点且g（x）存在最小值时，记g（x）的最小值为h（a），求h（a）的值域；
（Ⅲ）若f（x）与g（x）在区间（a，a+2）内均为增函数，求a的取值范围．
（历史方向考生做）函数f（x）=sinx-cosx-tx在[0，
π
2
]上单调递增，则实数t的取值范围是______．
若函数f（x）=x2+ax在x∈[1，3]是单调递减函数，则实数a的取值范围是______．
已知函数f（x）=x2-mx-lnx，m∈R
（1）若m=2，求函数f（x）的单调增区间；
（2）若m≥1，函数在f（x）在x=x0处取得极值，求证：1≤x0≤m．