设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0.(Ⅰ)若a>0,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)当函数y=f(x)与y=g
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设函数f(x)=x3+ax2-a2x+1,g(x)=ax2-2x+1,其中实数a≠0. (Ⅰ)若a>0,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)当函数y=f(x)与y=g(x)的图象只有一个公共点且g(x)存在最小值时,记g(x)的最小值为h(a),求h(a)的值域; (Ⅲ)若f(x)与g(x)在区间(a,a+2)内均为增函数,求a的取值范围. |
答案
(Ⅰ)∵f′(x)=3x2+2ax-a2=3(x-)(x+a),又a>0, ∴当x<-a或x>时,f"(x)>0; 当-a<x<时,f"(x)<0, ∴f(x)在(-∞,-a)和(,+∞)内是增函数,在(-a,)内是减函数. (Ⅱ)由题意知x3+ax2-a2x+1=ax2-2x+1, 即x[x2-(a2-2)]=0恰有一根(含重根).∴a2-2≤0,即-≤a≤, 又a≠0,∴a∈[-,0)∪(0,]. 当a>0时,g(x)才存在最小值,∴a∈(0,]. g(x)=a(x-)2+1-, ∴h(a)=1-,a∈(0,]. h(a)≤1-; ∴h(a)的值域为(-∞,1-]. (Ⅲ)当a>0时,f(x)在(-∞,-a)和(,+∞)内是增函数,g(x)在(,+∞)内是增函数. 由题意得,解得a≥1; 当a<0时,f(x)在(-∞,)和(-a,+∞)内是增函数,g(x)在(-∞,)内是增函数. 由题意得,解得a≤-3; 综上可知,实数a的取值范围为(-∞,-3]∪[1,+∞). |
举一反三
(历史方向考生做)函数f(x)=sinx-cosx-tx在[0,]上单调递增,则实数t的取值范围是______. |
若函数f(x)=x2+ax在x∈[1,3]是单调递减函数,则实数a的取值范围是______. |
已知函数f(x)=x2-mx-lnx,m∈R (1)若m=2,求函数f(x)的单调增区间; (2)若m≥1,函数在f(x)在x=x0处取得极值,求证:1≤x0≤m. |
已知函数f(x)=lnx,g(x)=,(a∈R). (1)当a=2时,求函数p(x)=f(x)+g(x)的单调区间; (2)若函数h(x)=f(x)-g(x)在[1,e]上的最小值为3,求a的值; (3)若存在x0∈[1,+∞),使得f(x0)>x02+g(x0)能成立,求a的取值范围. |
给出下列命题: ①质点的位移函数S(t)对时间t的导数就是质点的加速度函数; ②对于函数f(x)=2x2+1图象上的两点P(1,3)和Q(1+△x,3+△y),有=4+2△x; ③若质点的位移S(t)与时间t的关系为S(t)=kt+b,则质点的平均速度与任意时刻的瞬时速度相等; ④“f"(x0)=0”是“函数y=f(x)在x=x0时取得极值”的充要条件. 其中,真命题的序号为______. |
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