已知平面向量a=(3,-1),b=(12,32).(I)若存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+b,且x⊥y,试求函数的关系式k=f(t);(
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已知平面向量a=(3,-1),b=(12,32).(I)若存在实数k和t,使得x=a+(t2-3)b,y=-ka+b,且x⊥y,试求函数的关系式k=f(t);(
题型:湖南模拟
难度:
来源:
已知平面向量
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
,
3
2
).
(I)若存在实数k和t,使得
x
=
a
+(t
2
-3)
b
,
y
=-k
a
+
b
,且
x
⊥
y
,试求函数的关系式k=f(t);
(II)根据(I)结论,确定k=f(t)的单调区间.
答案
(I)∵
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
,
3
2
)
∴
|
a
|=2,|
b
|=1,
a
•
b
=
3
×
1
2
-1×
3
2
=0
∴
a
⊥
b
∵
x
⊥
y
,∴
x
•
y
=0
即
-k
|
a
|
2
+t(
t
2
-3)
|
b
|
2
=0
,
∴t
3
-3t-4k=0
即k=
1
4
t
3
-
3
4
t
(II)由(I)知,k=f(t)=
1
4
t
3
-
3
4
t
,
∴
k′=
3
4
t
2
-
3
4
=
3
4
(t+1)(t-1)
令k′<0得-1<t<1,令k′>0得t<0或t>1
故k=f(t)的单调递减区间是[-1,1];
单调递增区间是(-∞,-1],[1,+∞).
举一反三
已知f(x)=ax
3
+bx
2
+cx,若函数在区间(-∞,-
5
3
),(1,+∞)上是增函数,在区间[-
5
3
,1]上是减函数,又f′(0)=-5,求f(x)的解析式.
题型:湖南模拟
难度:
|
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已知函数
f(x)=a
x
2
-ln
x+1
,g(x)=
x
3
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当
a=
1
2
时,证明:对x∈(0,1)时,不等式2f(x)<g(x)成立;
(3)当n≥2,,n∈N
*
证明:
ln
3
2
•ln
4
3
…ln
n+1
n
<
1
n
•
1
(n!)
2
.
题型:不详
难度:
|
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设f(x)=-x
3
+ax
2
+bx+c(a>0),在x=1处取得极大值,且存在斜率为
4
3
的切线.
(1)求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)在区间[m,n]上单调递增,求|m-n}的取值范围;
(3)是否存在a的取值使得对于任意x∈(-∞,0],都有f(x)≥0.
题型:湖北模拟
难度:
|
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设x
1
,x
2
是
f(x)=
a
3
x
3
+
b-1
2
x
2
+x(a,b∈R,a>0)的两个极值点,f′(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)如果x
1
<2<x
2
<4,求f′(-2)的取值范围;
(Ⅱ)如果0<x
1
<2,x
2
-x
1
=2,求证:
b<
1
4
;
(Ⅲ)如果a≥2,且x
2
-x
1
=2,x∈(x
1
,x
2
)时,函数g(x)=-f′(x)+2(x
2
-x)的最大值为h(a),求h(a)的最小值.
题型:东城区一模
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1-x
ax
+lnx
.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在
[
1
2
,2]
上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证:对大于1的任意正整数n,都有
lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
.
题型:信阳模拟
难度:
|
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