(1)∵f(x)=+lnx ∴f′(x)=(a>0) ∵函数f(x)在[1,+∞)上为增函数 ∴f′(x)=≥0对x∈[1,+∞)恒成立, ∴ax-1≥0对x∈[1,+∞)恒成立,即a≥对x∈[1,+∞)恒成立 ∴a≥1 (2)当a=1时,f′(x)=, ∴当x∈[,1)时,f′(x)<0,故f(x)在x∈[,1)上单调递减; 当x∈(1,2]时,f′(x)>0,故f(x)在x∈(1,2]上单调递增, ∴f(x)在区间[,2]上有唯一极小值点,故f(x)min=f(x)极小值=f(1)=0 又f()=1-ln2,f(2)=-+ln2,f()-f(2)=-2ln2= ∵e3>16 ∴f()-f(2)>0,即f()>f(2) ∴f(x)在区间[,2]上的最大值f(x)max=f()=1-ln2 综上可知,函数f(x)在[,2]上的最大值是1-ln2,最小值是0. (3)当a=1时,f(x)=+lnx,f′(x)=, 故f(x)在[1,+∞)上为增函数. 当n>1时,令x=,则x>1,故f(x)>f(1)=0 ∴f()=+ln=-+ln>0,即ln> ∴ln>,ln>,ln>,…,ln> ∴ln+ln+ln+…+ln>+++…+ ∴lnn>+++…+ 即对大于1的任意正整数n,都有lnn>+++…+ |