(I)∵f(x)=x, ∴g(x)=λx+sinx, ∵g(x)在[-1,1]上单调递减, ∴g"(x)=λ+cosx≤0 ∴λ≤-cosx在[-1,1]上恒成立,λ≤-1,故λ的最大值为-1. (II)由题意[g(x)]max=g(-1)=-λ-sinl ∴只需-λ-sinl<t2+λt+1 ∴(t+1)λ+t2+sin+1>0(其中λ≤-1),恒成立, 令h(λ)=(t+1)λ+t2+sin1+1>0(λ≤-1), 则, ∴,而t2-t+sin1>0恒成立, ∴t<-1 又t=-1时-λ-sinl<t2+λt+1 故t≤-1(9分)
(Ⅲ)由==x2-2ex+m. 令f1(x)=,f2(x)=x2-2ex+m, ∵f1′(x)=, 当x∈(0,e)时,f1′(x)≥0, ∴f1(x)在(0,e]上为增函数; 当x∈[e,+∞)时,f1′(x)≤0, ∴f1(x)在[e,+∞)为减函数; 当x=e时,[f1(x)]max=f1(e)=, 而f2(x)=(x-e)2+m-e2, ∴当m-e2>,即m>e2+时,方程无解; 当m-e2=,即m=e2+时,方程有一个根; 当m-e2<时,m<e2+时,方程有两个根.(14分) |