已知f(x)=ax3+bx2+cx,若函数在区间(-∞,-53),(1,+∞)上是增函数,在区间[-53,1]上是减函数,又f′(0)=-5,求f(x)的解析式
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已知f(x)=ax3+bx2+cx,若函数在区间(-∞,-53),(1,+∞)上是增函数,在区间[-53,1]上是减函数,又f′(0)=-5,求f(x)的解析式
题型:湖南模拟
难度:
来源:
已知f(x)=ax
3
+bx
2
+cx,若函数在区间(-∞,-
5
3
),(1,+∞)上是增函数,在区间[-
5
3
,1]上是减函数,又f′(0)=-5,求f(x)的解析式.
答案
f′(x)=3ax
2
+2bx+c,
由已知可得f′(
-
5
3
)=f
′
(1)=0,f′(0)=-5,
即
3a
(-
5
3
)
2
+2b(-
5
3
)+c =0
;
3a1
2
+2b1+c=0;
3a(-5)
2
+2b(-5)+c=-5.
解得a=-
1
10
,b=
3
20
,c=0.
∴
f(x)=-
1
10
x
3
+
3
20
x
2
.
举一反三
已知函数
f(x)=a
x
2
-ln
x+1
,g(x)=
x
3
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)当
a=
1
2
时,证明:对x∈(0,1)时,不等式2f(x)<g(x)成立;
(3)当n≥2,,n∈N
*
证明:
ln
3
2
•ln
4
3
…ln
n+1
n
<
1
n
•
1
(n!)
2
.
题型:不详
难度:
|
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设f(x)=-x
3
+ax
2
+bx+c(a>0),在x=1处取得极大值,且存在斜率为
4
3
的切线.
(1)求a的取值范围;
(2)若函数y=f(x)在区间[m,n]上单调递增,求|m-n}的取值范围;
(3)是否存在a的取值使得对于任意x∈(-∞,0],都有f(x)≥0.
题型:湖北模拟
难度:
|
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设x
1
,x
2
是
f(x)=
a
3
x
3
+
b-1
2
x
2
+x(a,b∈R,a>0)的两个极值点,f′(x)为f(x)的导函数.
(Ⅰ)如果x
1
<2<x
2
<4,求f′(-2)的取值范围;
(Ⅱ)如果0<x
1
<2,x
2
-x
1
=2,求证:
b<
1
4
;
(Ⅲ)如果a≥2,且x
2
-x
1
=2,x∈(x
1
,x
2
)时,函数g(x)=-f′(x)+2(x
2
-x)的最大值为h(a),求h(a)的最小值.
题型:东城区一模
难度:
|
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已知函数
f(x)=
1-x
ax
+lnx
.
(1)若函数f(x)在[1,+∞)上为增函数,求正实数a的取值范围;
(2)当a=1时,求f(x)在
[
1
2
,2]
上的最大值和最小值;
(3)当a=1时,求证:对大于1的任意正整数n,都有
lnn>
1
2
+
1
3
+
1
4
+…+
1
n
.
题型:信阳模拟
难度:
|
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已知函数f(x)=x,函数g(x)=λf(x)+sinx是区间[-1,1]上的减函数.
(I)求λ的最大值;
(II)若g(x)<t
2
+λt+1在x∈[-1,1]上恒成立,求t的取值范围;
(Ⅲ)讨论关于x的方程
lnx
f(x)
=
x
2
-2ex+m
的根的个数.
题型:乐山二模
难度:
|
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