设函数f(x)=alnx+(x-1)2,(a∈R).(1)若a=-4,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在[12,2]上存在单调递减区间,试求实数a的取值

设函数f(x)=alnx+(x-1)2,(a∈R).(1)若a=-4,求f(x)的最小值;(2)若函数f(x)在[12,2]上存在单调递减区间,试求实数a的取值

题型:不详难度:来源:
设函数f(x)=alnx+(x-1)2,(a∈R).
(1)若a=-4,求f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)在[
1
2
,2]上存在单调递减区间,试求实数a的取值范围;
(3)求函数f(x)的极值点.
答案
由于函数f(x)=alnx+(x-1)2,(a∈R).
f′(x)=
a
x
+2(x-1)
=
2x2-2x+a
x
,(x>0)

(1)由于a=-4,则f′(x)=
2x2-2x-4
x
=
2(x+1)(x-2)
x

令f′(x)>0,则x>2,
故函数f(x)在(0,2)上递减,在(2,+∞)上递增
故f(x)的最小值为f(2)=1-4ln2
(2)由于函数f(x)在[
1
2
,2]上存在单调递减区间,
则2x2-2x+a≤0亦即a≤-2x2+2x在[
1
2
,2
]上恒成立
故y=-2x2+2x在[
1
2
,2
]上递减,且最小值为
1
2

故实数a的取值范围是:a≤
1
2

(3)当△=22-4×2×a≤0,即a≥
1
2
时,f′(x)=
2x2-2x+a
x
,(x>0)
恒大于等于0,
故此时函数无极值.
当0<a<
1
2
时,令f′(x)=
2x2-2x+a
x
>0,(x>0)
,则0<x<
1-


1-2a
2
x>
1+


1-2a
2

故此时函数在x=
1-


1-2a
2
处取得极大值,在x=
1+


1-2a
2
处取得极小值.
当a≤0时,令f′(x)=
2x2-2x+a
x
>0,(x>0)
,则x>
1+


1-2a
2

故此时函数无极大值,在x=
1+


1-2a
2
处取得极小值.
综上,当a≥
1
2
时,函数无极值;
当0<a<
1
2
时,函数在x=
1-


1-2a
2
处取得极大值,在x=
1+


1-2a
2
处取得极小值;
当a≤0时,函数无极大值,在x=
1+


1-2a
2
处取得极小值.
举一反三
已知函数f(x)的导数f′(x)=3x2-3ax,f(0)=b.a,b为实数,1<a<2.
(Ⅰ)若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(Ⅲ)设函数F(x)=(f′(x)+6x+1)•e2x,试判断函数F(x)的极值点个数.
题型:不详难度:| 查看答案
定义在(0,
π
2
)上的函数f(x),其导函数是f′(x),且恒有f(x)<f′(x)•tanx成立,则(  )
A.f(
π
6
)>


3
f(
π
3
B.f(
π
6


3
f(
π
3
C.


3
f(
π
6
)>f(
π
3
D.


3
f(
π
6
)<f(
π
3
题型:济宁二模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x2+alnx
(Ⅰ)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若g(x)=f(x)+
2
x
在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.
题型:平遥县模拟难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ln
1
x
-ax2+x(a>0)

(1)若f(x)是单调函数,求a的取值范围;
(2)若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>3-2ln2.
题型:顺河区一模难度:| 查看答案
已知函数f(x)=lnx+(x-a)2,a为常数.
(1)若当x=1时,f(x)取得极值,求a的值,并求出f(x)的单调增区间;
(2)若f(x)存在极值,求a的取值范围,并证明所有极值之和大于ln
e
2
题型:不详难度:| 查看答案
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