已知函数f（x）的导数f′（x）=3x2-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）的导数f′（x）=3x²-3ax，f（0）=b．a，b为实数，1＜a＜2．
（Ⅰ）若f（x）在区间[-1，1]上的最小值、最大值分别为-2、1，求a、b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求经过点P（2，1）且与曲线f（x）相切的直线l的方程；
（Ⅲ）设函数F（x）=（f′（x）+6x+1）•e^2x，试判断函数F（x）的极值点个数．

答案

（Ⅰ）由已知得，f(x)=x3-

3

2

ax2+b
由f"（x）=0，得x₁=0，x₂=a．∵x∈[-1，1]，1＜a＜2，
∴当x∈[-1，0）时，f"（x）＞0，f（x）递增；
当x∈（0，1]时，f"（x）＜0，f（x）递减．
∴f（x）在区间[-1，1]上的最大值为f（0）=b，∴b=1．
又f(1)=1-

3

2

a+1=2-

3

2

a，f(-1)=-1-

3

2

a+1=-

3

2

a，
∴f（-1）＜f（1）．，即-

3

2

a=-2，得a=

4

3

．
故a=

4

3

，b=1为所求．

（Ⅱ）由（1）得f（x）=x³-2x²+1，f"（x）=3x²-4x，点P（2，1）在曲线f（x）上．
（1）当切点为P（2，1）时，切线l的斜率k=f"（x）|_x=2=4，
∴l的方程为y-1=4（x-2），即4x-y-7=0．
（2）当切点P不是切点时，设切点为Q（x₀，y₀）（x₀≠2），
切线l的斜率k=f′(x)|x=x0=3

x

20

-4x0，
∴l的方程为y-y₀=（3x₀²-4x₀）（x-x₀）．
又点P（2，1）在l上，∴1-y₀=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴1-（x₀³-2x₀²+1）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²（2-x₀）=（3x₀²-4x₀）（2-x₀），
∴x₀²=3x₀²-4x₀，即2x₀（x₀-2）=0，∴x₀=0．∴切线l的方程为y=1．
故所求切线l的方程为4x-y-7=0或y=1．
（或者：由（1）知点A（0，1）为极大值点，
所以曲线f（x）的点A处的切线为y=1，恰好经过点P（2，1），符合题意．）

（Ⅲ）F（x）=（3x²-3ax+6x+1）•e^2x=[3x²-3（a-2）x+1]•e^2x．
∴F"（x）=[6x-3（a-2）]•e^2x+2[3x²-3（a-2）x+1]•e^2x=[6x²-6（a-3）x+8-3a]•e^2x．
二次函数y=6x²-6（a-3）x+8-3a的判别式为△=36（a-3）²-24（8-3a）=12（3a²-12a+11）=12[3（a-2）²-1]，
令△≤0，得：(a-2)2≤

1

3

，2-

3

3

≤a≤2+

3

3

．
令△＞0，得a＜2-

3

3

，或a＞2+

3

3

．
∵e^2x＞0，1＜a＜2，
∴当2-

3

3

≤a＜2时，F"（x）≥0，函数F（x）为单调递增，极值点个数为0；
当1＜a＜2-

3

3

时，此时方程F"（x）=0有两个不相等的实数根，根据极值点的定义，可知函数F（x）有两个极值点．