已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x+1.(1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;(2)设m,n∈R,且m≠n,求证m-nlnm-

已知函数f(x)=lnx-a(x-1)x+1.(1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;(2)设m,n∈R,且m≠n,求证m-nlnm-

题型:梅州一模难度:来源:
已知函数f(x)=lnx-
a(x-1)
x+1

(1)若函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,求a的取值范围;
(2)设m,n∈R,且m≠n,求证
m-n
lnm-lnn
m+n
2
答案
(1)f′(x)=
1
x
-
a(x+1)-a(x-1)
(x+1)2
=
(x+1)2-2ax
x(x+1)2
=
x2+(2-2a)x+1
x(x+1)2

因为f(x)在(0,+∞)上为单调增函数,所以f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立
即x2+(2-2a)x+1≥0在(0,+∞)上恒成立,
当x∈(0,+∞)时,由x2+(2-2a)x+1≥0,
得:2a-2≤x+
1
x

设g(x)=x+
1
x
,x∈(0,+∞),
则g(x)=x+
1
x
≥2


x•
1
x
=2,当且仅当x=
1
x
即x=1时,g(x)有最小值2,
所以2a-2≤2,解得a≤2,所以a的取值范围是(-∞,2];
(2)要证
m-n
lnm-lnn
m+n
2
,只需证
m
n
-1
ln
m
n
m
n
+1
2

即ln
m
n
2(
m
n
-1)
m
n
+1
,即ln
m
n
-
2(
m
n
-1)
m
n
+1
>0,
设h(x)=lnx-
2(x-1)
x+1

由(1)知h(x)在(1,+∞)上是单调增函数,又
m
n
>1,
所以h(
m
n
)>h(1)=0,即ln
m
n
-
2(
m
n
-1)
m
n
+1
>0成立,
得到
m-n
lnm-lnn
m+n
2
举一反三
函数y=2x-x3单调递增区间是______.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数g1(x)=lnx,g2(x)=
1
2
ax2+(1-a)x(a∈R且a≠0).
(1)设f(x)=g1(x)-g2(x),求函数f(x)的单调区间;
(2)设函数g1(x)的图象曲线C1与函数g2(x)的图象c2交于的不同两点A、B,过线段AB的中点作x轴的垂线分别交C1、C2于点M、N.证明:C1在M处的切线与C2在N处的切线不平行.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-3x2+1,x∈[-1,3].
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的最大值与最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
已知函数f(x)=
a
3
x3-
a+1
2
x2+x+b
,其中a,b∈R.
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点P(2,f(2))处的切线方程为y=5x-4,求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)当a>0时,讨论函数f(x)的单调性.
题型:重庆模拟难度:| 查看答案
已知x=1是函数f(x)=x3-ax(a为参数)的一个极值点.
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)当x∈[0,2]时,求函数f(x)的最大值与最小值.
题型:不详难度:| 查看答案
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