(1)∵f(x)=lnx-ax2+(a-1)x ∴函数f(x)的定义域是(0,+∞)…(1分) 由已知得f′(x)=-ax+a-1=-,…(2分) ①当a>0时,令f′(x)>0,解得0<x<1; 令f′(x)<0,,解得x>1. ∴函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减…(3分) ②当a<0,时 ①当-<1时,即a<-1时,令f′(x)>0,解得0<x<-或x>1; 令f′(x)<0,解得-<x<1. ∴函数f(x)在(0,-)和(1,+∞)上单调递增,在(-,1)上单调递减…(4分) ②当-=1时,即a=-1时,显然,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增…(5分) ③当->1时,即-1<a<0时,令f′(x)>0,解得0<x<1或x>-; 令f′(x)<0,解得1<x<-. ∴函数f(x)在(0,1)和(-,+∞)上单调递增,(1,-)上单调递减…(6分) 综上所述,(1)当a>0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减; (2)当a<-1时,函数f(x)在(0,-)和(1,+∞)上单调递增,在(-,1)上单调递减; (3)当a=-1时,函数f(x)在(0,+∞)上单调递增; (4)当-1<a<0时,函数f(x)在(0,1)和(-,+∞)上单调递增,(1,-)上单调递减…(7分) (2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),且不妨设0<x1<x2,则 y1=lnx1=ax12+(1-a)x1…① y2=lnx2=ax22+(1-a)x2…② 由①-②得:lnx1-lnx2=[a(x1+x2)+1-a](x1-x2)…③ 假设C1在M处的切线与C2在N处的切线平线,则有=a(x1+x2)+1-a, 代入(3)化简可得:=, 即ln==, 设=t,(t>1),上式化为:lnt==2-,…(11分) 即lnt+=2…(12分) 令g(t)=lnt+,g′(t)=-=, ∵t>1,显然g′(t)>0, ∴g(t)在(1,+∞)上递增, 显然有g(t)>2恒成立. ∴在(1,+∞)内不存在,使得lnt+=2成立. 综上所述,假设不成立. ∴C1在M处的切线与C2在N处的切线不平线…(14分) |