(1)x>0时,f(x)=(x2-2ax)ex, ∴f"(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=[x2+2(1-a)x-2a]ex, 由已知,f′()=0,∴[2+2(1-a)-2a]e=0, ∴2+2-2a-2a=0,∴a=1, ∴x>0时,f(x)=(x2-2x)ex, ∴f"(x)=(2x-2)ex+(x2-2x)ex=(x2-2)ex. 令f"(x)=0得x=(x=-舍去) 当x>0时,
∴当 x∈(0,)时,f(x)单调递减,当 x∈(,+∞),f(x)单调递增, ∴x>0时,f(x)∈((2-2)e,+∞) 要使方程f(x)-m=0有两不相等的实数根,即函数y=f(x)的图象与直线y=m有两个不同的交点. ①当b>0时,m=0或 m=(2-2)e; ②当b=0时,m∈((2-2)e,0); ③当b<0时,m∈((2-2)e,+∞) (2)x>0时,f(x)=(x2-2x)ex,f"(x)=(x2-2)ex,∴f(2)=0,f"(2)=2e2. 函数f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线l的方程为:y=2e2(x-2), ∵直线l与函数g(x)的图象相切于点P(x0,y0),x0∈[e-1,e],∴y0=clnx0+b,g′(x)= ∴切线l的斜率为 g′(x0)= ∴切线l的方程为:y-y0=(x-x0),即y=x-c+b+clnx0, ∴,∴ ∴b=2e2(x0-x0lnx0-2),其中x0∈[e-1,e] 记h(x0)=2e2(x0-x0lnx0-2),其中x0∈[e-1,e],h"(x0)=-2e2lnx0, 令h"(x0)=0,得x0=1.
又h(e)=-4e2,h(e-1)=4e-4e2>-4e2. ∵x0∈[e-1,e],∴h(x0)∈[-4e2,-2e2], ∴实数b的取值范围为:{b|-4e2≤b≤-2e2}. |