设函数f(x)=x2-2acos[(k-1)π]lnx (k∈N*,a∈R).(1)若k=2011,a=1,求函数f(x)的最小值;(2)若k是偶数,求函数f(

设函数f(x)=x2-2acos[(k-1)π]lnx (k∈N*,a∈R).(1)若k=2011,a=1,求函数f(x)的最小值;(2)若k是偶数,求函数f(

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设函数f(x)=x2-2acos[(k-1)π]lnx (k∈N*,a∈R).
(1)若k=2011,a=1,求函数f(x)的最小值;
(2)若k是偶数,求函数f(x)的单调区间.
答案
(1)因为k=2011,a=1,所以f(x)=x2-2lnx,f′(x)=
2(x2-1)
x
(x>0)

由f′(x)>0得x=1,且当x>1时,f′(x)>0,f(x)在(1,+∞)上是增函数;
当x<1时,f′(x)<0,f(x)在(0,1)上是减函数.
故f(x)min=f(1)=1.(5分)
(2)当k是偶数时,f(x)=x2-2alnx,f′(x)=
2(x2+a)
x
(x>0)

所以当a>0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上是增函数;(9分)
当a<0时,由f′(x)=0得x=


-a
,且当x>


-a
时,f′(x)>0,当x<


-a
时,f′(x)<0,
所以f(x)在(0,


-a
)上是减函数,f(x)在(


-a
,+∞)上是增函数.(13分)
综上可得当a>0时,f(x)的增区间为(0,+∞);当a<0时,f(x)的减区间为(0,


-a
),增区间为(


-a
,+∞).(14分)
举一反三
已知定义在R上的可导函数y=f(x)的导函数为f′(x),满足f′(x)<f(x)且y=f(x+1)为偶函数,f(2)=1,则不等式f(x)<ex的解集为______.
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已知f(x)=ax3-bx2+cx在区间[0,1]上是减函数,在区间(-∞,0],[1,+∞)上是增函数,又f′(2)=12.
(1)求f(x)的解析式;
(2)若在区间[0,m].(m>0)上恒有f(x)≤5x成立,求m的取值范围.
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已知函数f(x)满足f(x)=x3+f ′(
2
3
)x2-x+C
(其中f ′(
2
3
)
为f(x)在点x=
2
3
处的导数,C为常数).
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)若方程f(x)=0有且只有两个不等的实数根,求常数C;
(3)在(2)的条件下,若f(-
1
3
)>0
,求函数f(x)的图象与x轴围成的封闭图形的面积.
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已知函数f(x)=
lnx
x

(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)设a>0,求函数f(x)在[2a,4a]上的最小值.
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对任意的实数a,b,记max{a,b}=





a(a≥b)
b(a<b)
若F(x)=max{f(x),g(x)}(x∈R),其中奇函数y=f(x)在x=1时有极小值-2,y=g(x)是正比例函数,函数y=f(x)(x≥0)与函数y=g(x)的图象如图所示  则下列关于函数y=F(x)的说法中,正确的是(  )
A.y=F(x)为奇函数
B.y=F(x)有极大值F(1)且有极小值F(-1)
C.y=F(x)的最小值为-2且最大值为2
D.y=F(x)在(-3,0)上不是单调函数
魔方格
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