已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称.(Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调
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已知函数f(x)=x3+mx2+nx-2的图象过点(-1,-6),且函数g(x)=f′(x)+6x的图象关于y轴对称. (Ⅰ)求m、n的值及函数y=f(x)的单调区间; (Ⅱ)若a>0,求函数y=f(x)在区间(a-1,a+1)内的极值. |
答案
(Ⅰ)由函数f(x)图象过点(-1,-6),得m-n=-3,① 由f(x)=x3+mx2+nx-2,得f′(x)=3x2+2mx+n, 则g(x)=f′(x)+6x=3x2+(2m+6)x+n; 而g(x)图象关于y轴对称,所以-=0,所以m=-3, 代入①得n=0. 于是f′(x)=3x2-6x=3x(x-2). 由f′(x)>得x>2或x<0, 故f(x)的单调递增区间是(-∞,0),(2,+∞); 由f′(x)<0得0<x<2, 故f(x)的单调递减区间是(0,2). (Ⅱ)由(Ⅰ)得f′(x)=3x(x-2), 令f′(x)=0得x=0或x=2. 当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
由此可得: 当0<a<1时,f(x)在(a-1,a+1)内有极大值f(O)=-2,无极小值; 当a=1时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值; 当1<a<3时,f(x)在(a-1,a+1)内有极小值f(2)=-6,无极大值; 当a≥3时,f(x)在(a-1,a+1)内无极值. 综上得:当0<a<1时,f(x)有极大值-2,无极小值,当1<a<3时,f(x)有极小值-6,无极大值;当a=1或a≥3时,f(x)无极值. |
举一反三
已知函数f(x)=px--2lnx. (1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围. |
已知曲线f(x)=alnx+bx+1在点(1,f(1))处的切线斜率为-2,且x=是y=f(x)的极值点,则a-b=______. |
设函数f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在区间(0,4)上是减函数,则k的取值范围( ) |
设函数f(x)=x3-3ax2+3b2x. (I)若a=1,b=0,求曲线y=f(x) 在点(1,f(1))处的切线方程; (II)当b=1时,若函数f(x) 在[-1,1]上是增函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)若0<a<b,不等式f()>f()对任意x>1恒成立,求整数k的最大值. |
函数f(x)=x-ln(x+1)的减区间是______. |
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