已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R).(Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ) 当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上最小值.
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已知函数f(x)=lnx-ax(a∈R). (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ) 当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上最小值. |
答案
(Ⅰ)函数的定义域是(0,+∞) ∵f(x)=lnx-ax ∴f′(x)=-a 当a≤0时,f′(x)>0,函数在定义域上是增函数; 当a>0时,令导数为0解得x=, 当x>时,导数为负,函数在(,+∞)上是减函数, 当x<时,导数为正,函数在(0,)上是增函数 (Ⅱ)由(Ⅰ)的结论知 当[1,2]⊆[,+∞)时,即a≥1时,函数函数f(x)在[1,2]上是减函数,故最小值为f(2)=ln2-2a 当[1,2]⊆(0,]时,即0<a<时,函数函数f(x)在[1,2]上是增函数,故最小值为f(1)=-a 当∈[1,2]时,函数f(x)在[1,]上是增函数,在[,2]上是减函数,故最小值为min{f(1),f(2)} |
举一反三
设a>0,b>0,已知函数f(x)=. (Ⅰ)当a≠b时,讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)当x>0时,称f(x)为a、b关于x的加权平均数. (i)判断f(1),f(),f()是否成等比数列,并证明f()≤f(); (ii)a、b的几何平均数记为G.称为a、b的调和平均数,记为H.若H≤f(x)≤G,求x的取值范围. |
已知||=2||≠0,且关于x的函数f(x)=x3+||x2+•x在R上有极值,则与的夹角范围为( ) |
已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数),下面四个图象中y=f(x)的图象大致是( ) |
已知函数f(x)=lnx,g(x)=a(x2-x)(a≠0,a∈R),h(x)=f(x)-g(x) (Ⅰ)若a=1,求函数h(x)的极值; (Ⅱ)若函数y=h (x)在(1,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围; (Ⅲ)在函数:y=f(x)的图象上是否存在不同的两点A(x1,y1),B(x2,y2),使线段AB的中点的横坐标x0与直线AB的斜率k之间满足k=f′(x0)?若存在,求出x0;若不存在,请说明理由. |
函数y=-x3+3x2+3的单调增区间是______. |
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