(1)证明:求导函数,可得f′(x)=ax2+bx+c, ∵函数在x=1时取得极值, ∴a+b+c=0, ∵函数在x=1时取得极值, ∵a<b<c, ∴a<b<-(a+b), ∴-<<1 ∵切线斜率为-a,则关于x的方程f′(x)=-a有根, 即ax2+bx-b=0有根, ∴b2+4ab=b(4a+b)≥0 ∴≤-4或≥0 ∵-<<1 ∴0≤<1; (2)证明:方程f′(x)=ax2+bx-(a+b)=0 ∴b2+4a(a+b)>0 ∵f′(1)=0 ∴方程f′(x)=ax2+bx-(a+b)=0的两根为1和--1 当且仅当--1<x<1时,f′(x)>0 ∴f(x)在[--1,1]上为增函数, ∴1≥t>s≥--1>-2且0<t-s≤+2<3; (3)若f′(x)+a=ax2+bx-b=a(x2+x-)<0对a、b恒成立, 设t=∈[0,1),则g(t)=(x-1)t+x2>0对t∈[0,1)恒成立, 即g(1)≥0,g(0)>0恒成立 解得x≤或x≥, ∴k≥. |