已知函数f（x）=x3+ax2+bx．（1）若函数y=f（x）在x=2处有极值-6，求y=f（x）的单调递减区间；（2）若y=f（x）的导数f′（x）对x∈[-

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已知函数f（x）=x³+ax²+bx．
（1）若函数y=f（x）在x=2处有极值-6，求y=f（x）的单调递减区间；
（2）若y=f（x）的导数f′（x）对x∈[-1，1]都有f′（x）≤2，求

a-1

的范围．

答案

（1）f′（x）=3x²+2ax+b
依题意有

f′(2)=0

f(2)=-6

即

12+4a+b=0

8+4a+2b=-6.

解得

a=-

b=-2

∴f′（x）=3x²-5x-2
由f′（x）＜0，即（3x+1）（x-2）＜0，解得-

＜x＜2
∴y=f（x）的单调递减区间是：(-

，2)；

（2）由

f′(-1)=3-2a+b≤2

f′(1)=3+2a+b≤2

得

2a-b-1≥0

2a+b+1≤0.

不等式组确定的平面区域如图阴影部分所示：
由

2a-b-1=0

2a+b+1=0

得

a=0

b=-1.

∴Q点的坐标为（0，-1）．
设z=

a-1

，则z表示平面区域内的点（a，b）与点P（1，0）连线斜率．
∵K_PQ=1，由图可知z≥1或z≤-2，
即

a-1

∈(-∞，-2]∪[1，+∞)

举一反三

已知函数f（x）=x²-ax+3在（0，1）上为减函数，函数g（x）=x²-alnx在区间（1，2）上为增函数．
（I）求a的值；
（Ⅱ）试判断方程f（x）=2g（x）+m（m＞-1）在（0，+∞）上解的个数，并说明理由．

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已知函数f(x)=

x2+b

在x=1处取得极值2．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（m，2m+1）上是单调函数，求实数m的取值范围．

题型：不详难度：| 查看答案

已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（2）对一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx＞

成立．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f（x）=lnx-ax（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当a＞0时，求函数f（x）在[1，2]上最小值．

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设a＞0，b＞0，已知函数f（x）=

ax+b

x+1

．
（Ⅰ）当a≠b时，讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x＞0时，称f（x）为a、b关于x的加权平均数．
（i）判断f（1），f（

），f（

）是否成等比数列，并证明f（

）≤f（

）；
（ii）a、b的几何平均数记为G．称

2ab

a+b

为a、b的调和平均数，记为H．若H≤f（x）≤G，求x的取值范围．

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