(1)f"(x)=lnx+1,当x∈(0,),f"(x)<0,f(x)单调递减, 当x∈(,+∞),f"(x)>0,f(x)单调递增. ①0<t<t+2<,t无解; ②0<t<<t+2,即0<t<时,f(x)min=f()=-; ③≤t<t+2,即t≥时,f(x)在[t,t+2]上单调递增,f(x)min=f(t)=tlnt; ∴f(x)min=. (2)2xlnx≥-x2+ax-3,则a≤2lnx+x+, 设h(x)=2lnx+x+(x>0),则h′(x)=, x∈(0,1),h"(x)<0,h(x)单调递减,x∈(1,+∞),h"(x)>0,h(x)单调递增, 所以h(x)min=h(1)=4 因为对一切x∈(0,+∞),2f(x)≥g(x)恒成立,所以a≤h(x)min=4; (3)问题等价于证明xlnx>-(x∈(0,+∞)), 由(1)可知f(x)=xlnx(x∈(0,+∞))的最小值是-,当且仅当x=时取到 设m(x)=-(x∈(0,+∞)),则m′(x)=,易得m(x)max=m(1)=-, 当且仅当x=1时取到,从而对一切x∈(0,+∞),都有lnx>-成立. |