如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.(1)求m的值及这个二

如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.(1)求m的值及这个二

题型:江苏期末题难度:来源:
如图,已知二次函数图象的顶点坐标为C(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在轴y上.
(1)求m的值及这个二次函数的关系式;
(2)P为线段AB上的一个动点(点P与A、B不重合),过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E点,设线段PE的长为h,点P的横坐标为x,求h与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;
(3)D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点,在线段AB上是否存在一点P,使得四边形DCEP是平行四形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)∵点A(3,4)在直线y=x+m上,
∴4=3+m.
∴m=1;
设所求二次函数的关系式为y=a(x﹣1)2
∵点A(3,4)在二次函数y=a(x﹣1)2的图象上,
∴4=a(3﹣1)2
∴a=1.
∴所求二次函数的关系式为y=(x﹣1)2
即y=x2﹣2x+1;
(2)设P、E两点的纵坐标分别为yP和yE
∴PE=h=yP﹣yE=(x+1)﹣(x2﹣2x+1)=﹣x2+3x,
即h=﹣x2+3x(0<x<3);
(3)存在.
要使四边形DCEP是平行四边形,必需有PE=DC.
∵点D在直线y=x+1上,
∴点D的坐标为(1,2),
∴﹣x2+3x=2,即x2﹣3x+2=0.
解得:x1=2,x2=1(不合题意,舍去).
∴当P点的坐标为(2,3)时,四边形DCEP是平行四边形.
举一反三
仁寿某商场服装柜在销售中发现:“爱童”牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为迎接“元旦”节,商场决定采取适当的降价措施扩大销量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装每降价4元,则平均每天就可多售出8件。
(1)要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?
(2)如果你是老总,请算一下每件童装应降价多少元可使一天的盈利最大?最大盈利是多少?
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为喜迎佳节,沙坪坝区某食品公司推出一种新年礼盒,每盒成本为20元.在元旦节前30天进行销售后发现,该礼盒在这30天内的日销售量p(盒)与时间x(天)的关系如下表:
(1)直接写出日销售量p(盒)与时间x(天)之间的关系式;
(2)请求出这30天中哪一天的日销售利润最大?最大日销售利润是多少?
(3)元旦放假期间,该公司采取降价促销策略.元旦节当天,销售价格(元/盒)比第30天的销售价格降低a%,而日销售量就比第30天提高了4a%,日销售利润比前30天中的最大日销售利润少380元,求a的值. 注:销售利润=(售价﹣成本价)×销售量.
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如图,已知抛物线y=ax2+c交x轴于点A(﹣1,0)和点B,交y轴于点C(0,﹣1).
(1)求此抛物线的解析式.
(2)过点A作AP∥CB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积.
(3)在x轴上方的抛物线上是否存在一点M,过M作MG⊥x轴于点G,使以A、M、G三点为顶点的三角形与△ACP相似.若存在,请求出M点的坐标;否则,请说明理由.
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如图,已知O为坐标原点,∠AOB=30°,∠ABO=90°,且点A的坐标为(2,0).
(1)求点B的坐标;
(2)若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A、B、O三点,求此二次函数的解析式;
(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上,是否存在一点C,使得四边形ABCO的面积最大?若存在,求出这个最大值及此时点C的坐标;若不存在,请说明理由.
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利民商店经销甲、乙两种商品。现有如下信息:请根据以上信息,解答下列问题:
(1)甲、乙两种商品的进货单价各多少元?
(2)该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件。经调查发现,甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元,这两种商品每天可各多销售100件。为了使每天获取更大的利润,商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元。在不考虑其他因素的条件下,当m定为多少时,才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大?每天的最大利润是多少?
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