已知函数f(x)=loga(a-ax)(a>1)。（1）求f(x)的定义域、值域；（2）判断f(x)的单调性，并给出证明。

题型：解答题难度：一般来源：黑龙江省期中题

已知函数f(x)=log_a(a-a^x)(a>1)。
（1）求f(x)的定义域、值域；
（2）判断f(x)的单调性，并给出证明。

答案

解：（1）由a-a^x＞0，得a^x＜a，
∵函数y= a^x (a>1)为增函数，
∴x＜1，
又∵a^x＞0，
∴0＜a^x＜a，
∴f(x)=log_a(a-a^x)＜1，
故函数f(x)的定义域为（-∞，1），值域为（-∞，1）。
（2）f(x)为减函数。
证明：设x₁＜x₂＜1，则
f(x₁)- f(x₂)=，
∵x₁＜x₂＜1，a>1，
∴，
∴，即，
∴f(x₁)- f(x₂) ＞0，
∴f(x₁)＞f(x₂)，
∴函数f(x)在定义域（-∞，1）上为减函数。