设函数f(x)=ex,其中e为自然对数的底数.(Ⅰ)求函数g(x)=f(x)-ex的单调区间;(Ⅱ)记曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))(其中x0<0)
题型:西城区二模难度:来源:
设函数f(x)=ex,其中e为自然对数的底数. (Ⅰ)求函数g(x)=f(x)-ex的单调区间; (Ⅱ)记曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))(其中x0<0)处的切线为l,l与x轴、y轴所围成的三角形面积为S,求S的最大值. |
答案
(Ⅰ)由已知g(x)=ex-ex, 所以g"(x)=ex-e,…(1分) 由g"(x)=ex-e=0,得x=1, 所以,在区间(-∞,1)上,g"(x)<0, 函数g(x)在区间(-∞,1)上单调递减; 在区间(1,+∞)上,g"(x)>0, 函数g(x)在区间(1,+∞)上单调递增; …(4分) 即函数g(x)的单调递减区间为(-∞,1),单调递增区间为(1,+∞). (Ⅱ)因为f"(x)=ex, 所以曲线y=f(x)在点P处切线为l:y-ex0=ex0(x-x0).…(6分) 切线l与x轴的交点为(x0-1,0),与y轴的交点为(0,ex0-x0ex0),…(8分) 因为x0<0,所以S=(1-x0)(1-x0)ex0=(1-2x0+)ex0, ∵S′=ex0(-1), ∴在区间(-∞,-1)上,函数S(x0)单调递增,在区间(-1,0)上,函数S(x0)单调递减.…(10分) 所以,当x0=-1时,S有最大值,此时S=, 所以,S的最大值为.…(12分) |
举一反三
已知函数f(x)=kx--2lnx,其中k∈R; (1)若函数f(x)在其定义域内为单调递增函数,求实数k的取值范围. (2)若函数g(x)=,且k>0,若在[1,e]上至少存在一个x的值使f(x)>g(x)成立,求实数k的取值范围. |
已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为______. |
设函数f(x)=x2-2x-4lnx,则f(x)的递增区间为( )A.(0,+∞) | B.(-1,0),(2,+∞) | C.(2,+∞) | D.(0,1) |
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函数f(x)=x3+ax2+3x-9,已知f(x)在x=-3时取得极值,则a等于( ) |
已知f(x)的定义域为R,f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示,则( )A.f(x)在x=1处取得极小值 | B.f(x)在x=1处取得极大值 | C.f(x)是R上的增函数 | D.f(x)是(-∞,1)上的减函数,(1,+∞)上的增函数 |
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