已知常数a＞0，n为正整数，fn（x）=xn-（x+a）n（x＞0）是关于x的函数．（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论；（2）对任意n≥a，证明f
题型：杭州二模难度：来源：
已知常数a＞0，n为正整数，fn（x）=xn-（x+a）n（x＞0）是关于x的函数．
（1）判定函数fn（x）的单调性，并证明你的结论；
（2）对任意n≥a，证明f′n+1（n+1）＜（n+1）fn′（n） |
答案
（1）fn（x）在（0，+∞）单调递减，理由如下：
fn′（x）=nxn-1-n（x+a）n-1=n[xn-1-（x+a）n-1]，
∵a＞0，x＞0，
∴fn′（x）＜0，
∴fn（x）在（0，+∞）单调递减．（4分）
证明：（2）由上知：当x＞a＞0时，fn（x）=xn-（x+a）n是关于x的减函数，
∴当n≥a时，有：（n+1）n-（n+1+a）n＜nn-（n+a）n（2分）
| | 又∴f′n+1(x)=(n+1)[xn-(x+a)n]， | | ∴f′n+1(n+1)=(n+1)[(n+1)n-(n+1+a)n]＜(n+1)[nn-(n+a)n] | | =(n+1)[nn-(n+a)(n+a)n-1](2分) |
| |
（n+1）f′n（n）=（n+1）n[nn-1-（n+a）n-1]=（n+1）[（nn-n（n+a）n-1]，（2分）
∵（n+2）＞n，
∴f′n+1（n+1）＜（n+1）f′n（n）（2分） |
举一反三
已知向量=(x2，y-cx)，=(1，x+b)，∥，（x，y，b，c∈R），且把其中x，y所满足的关系式记为y=f（x），若f′（x）为f（x）的导函数，F（x）=f（x）+af′（x）（a＞0），且F（x）是R上的奇函数．
（Ⅰ）求和c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在[，a2]上单调递减，求b的取值范围；
（Ⅲ）当a=2时，设0＜t＜4且t≠2，曲线y=f（x）在点A（t，f（t））处的切线与曲线y=f（x）相交于点B（m，f（m））（A，B不重合），直线x=t与y=f（m）相交于点C，△ABC的面积为S，试用t表示△ABC的面积S（t），若P为S（t）上一动点，D（4，0），求直线PD的斜率的取值范围． |
函数f（x）=x3-3x2的单调递减区间为（ ）| A．（-∞，0） | B．（0，2） | C．（2，+∞） | D．（-∞，0）∪（2，+∞） |
|
已知函数f（x）=x3+x2+ax+b．
（1）当a=-1时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的图象与直线y=ax只有一个公共点，求实数b的取值范围． |
若命题P：函数f（x）=x3-ax-2在区间（1，+∞）内是增函数；则命题P成立的充要条件是（ ）| A．a∈（-∞，3] | B．a∈（-∞，9] | C．a∈（-1，∞） | D．a∈（-∞，3） |
|
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程为y=3x+1．
（1）若函数y=f（x）在x=-2时有极值，求f（x）表达式；
（2）若函数y=f（x）在区间[-2，1]上单调递增，求实数b的取值范围． |
最新试题
热门考点