已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1.(1)若函数y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x
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已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1. (1)若函数y=f(x)在x=-2时有极值,求f(x)表达式; (2)若函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增,求实数b的取值范围. |
答案
(1)f′(x)=3x2+2ax+b ∵曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线方程为y=3x+1. ∴即 ∵函数y=f(x)在x=-2时有极值 ∴f′(-2)=0即-4a+b=-12 ∴ | 3+2a+b=3 | 1+a+b+c=4 | -4a+b=-12 |
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解得a=2,b=-4,c=5 ∴f(x)=x3+2x2-4x+5 (2)由(1)知,2a+b=0 ∴f′(x)=3x2-bx+b ∵函数y=f(x)在区间[-2,1]上单调递增 ∴f′(x)≥0即3x2-bx+b≥0在[-2,1]上恒成立 ①当x=≥1时f′(x)的最小值为f′(1)=1-b+b≥0∴b≥6 ②当x=≤-2时,f′(x)的最小值为f′(-2)=12+2b+b≥0∴b∈∅ ③-2<<1时,f′(x)的最小值为≥0∴0≤b≤6 总之b的取值范围是b≥0 |
举一反三
设f(x)=x3-3ax2+2bx在x=1处有极小值-1,试求a、b的值,并求出f(x)的单调区间. |
设函数f(x)=x3-x2+(2-b)x-2有两个极值点,其中一个在区间(0,1)内,另一个在区间(1,2)内,则的取值范围是______. |
已知函数f(x)=x3-kx在区间(-3,-1)上不单调,则实数k的取值范围是______. |
已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c,曲线y=f(x)在点x=1处的切线l不过第四象限且斜率为3,又坐标原点到切线l的距离为,若x=时,y=f(x)有极值. (1)求a,b,c的值; (2)求y=f(x)在[-3,1]上的最大值和最小值. |
一元三次函数f(x)的三次项系数为,f′(x)+9x<0的解集为(1,2), (1)若f′(x)+7a=0,求f′(x)的解析式; (2)若f(x)在R上单调增,求a的范围. |
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