一元三次函数f(x)的三次项系数为a3,f′(x)+9x<0的解集为(1,2),(1)若f′(x)+7a=0,求f′(x)的解析式;(2)若f(x)在R上单调增
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一元三次函数f(x)的三次项系数为a3,f′(x)+9x<0的解集为(1,2),(1)若f′(x)+7a=0,求f′(x)的解析式;(2)若f(x)在R上单调增
题型:不详
难度:
来源:
一元三次函数f(x)的三次项系数为
a
3
,f′(x)+9x<0的解集为(1,2),
(1)若f′(x)+7a=0,求f′(x)的解析式;
(2)若f(x)在R上单调增,求a的范围.
答案
解∵一元三次函数f(x)的三次项系数为
a
3
,
设f(x)=
a
3
x
3
+bx
2
+cx+d,∴f"(x)=ax
2
+2bx+c
∵f′(x)+9x=ax
2
+2bx+c+9x<0的解集为(1,2),
∴f′(x)+9x=ax
2
+2bx+c+9x=a(x-1)(x-2)<0
b=-
9+3a
2
,c=2a(a>0)
(1)由上f"(x)+7a=ax
2
-(9+3a)x+9a=0成立
∴△=(9+3a)
2
-36a
2
≥0
∴-1≤a≤3又因为a>0∴0<a≤3
∴f′(x)=ax
2
-(9+3a)x+2a(0<a≤3)
(2)∵f(x)在R上单调增,
∴f"(x)=ax
2
-(9+3a)x+2a≥0在R上恒成立
∴△=(9+3a)
2
-8a
2
=a
2
+54a+81≤0
∴
-27-18
2
≤a≤-27+18
2
又因为a>0∴0<
a≤-27+18
2
举一反三
已知函数y=f(x),y=g(x)的导函数的图象如下图,那么y=f(x),y=g(x)的图象可能是( )
A.
B.
C.
D.
题型:福建
难度:
|
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已知函数f(x)=ln(1+x)-x
(1)求f(x)的单调区间;
(2)记f(x)在区间[0,π](n∈N
*
)上的最小值为bx令an=ln(l+n)-bx
(i)如果对一切n,不等式
a
n
<
a
n+2
-
c
a
n+2
恒成立,求实数c的取值范围;
(ii)求证:
a
1
a
2
+
a
1
a
3
a
2
a
4
+…+
a
1
a
3
…
a
2n-1
a
2
a
4
…a
2n
<
2
a
n
+1
-1
.
题型:福建
难度:
|
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设函数f(x)=ln(2x+3)+x
2
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间[-
3
4
,
1
4
]的最大值和最小值.
题型:海南
难度:
|
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已知函数f(x)=x-xlnx,g(x)=f(x)-xf′(a),其中f′(a)表示函数f(x)在x=a处的导数,a为正常数.
(1)求g(x)的单调区间;
(2)对任意的正实数x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
,证明:(x
2
-x
1
)f′(x
2
)<f(x
2
)-f(x
1
)<(x
2
-x
1
)f′(x
1
);
(3)对任意的n∈N
*
,且n≥2,证明:
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
lnn
<
1-f(n+1)
ln2•lnn
.
题型:河西区一模
难度:
|
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已知m∈R,函数f(x)=mx
2
-2e
x
.
(Ⅰ)当m=2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两极值点a,b(a<b),(ⅰ)求m的取值范围;(ⅱ)求证:-e<f(a)<-2.
题型:大连一模
难度:
|
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