已知m∈R，函数f（x）=mx2-2ex．（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若f（x）有两极值点a，b（a＜b），（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求

题型：大连一模难度：来源：

已知m∈R，函数f（x）=mx²-2e^x．
（Ⅰ）当m=2时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若f（x）有两极值点a，b（a＜b），（ⅰ）求m的取值范围；（ⅱ）求证：-e＜f（a）＜-2．

答案

（Ⅰ）m=2时，f（x）=2x²-2e^x，f"（x）=4x-2e^x=2（2x-e^x）．
令g（x）=2x-e^x，g"（x）=2-e^x，
当x∈（-∞，ln2）时，g"（x）＞0，x∈（ln2，+∞）时，g"（x）＜0，
∴g（x）≤g（ln2）=2ln2-2＜0，
∴f"（x）＜0，
∴f（x）的单调减区间是（-∞，+∞）．
（Ⅱ）（i）若f（x）有两个极值点a，b（a＜b），
则a，b是方程f"（x）=2mx-2e^x=0的两不等实根．
∵x=0显然不是方程的根，∴m=

ex

x

有两不等实根．
令h(x)=

ex

x

，则h′(x)=

ex(x-1)

x2

，
当x∈（-∞，0）时，h"（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，1）时，h"（x）＜0，h（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，h"（x）＞0，h（x）单调递增，
要使m=

ex

x

有两不等实根，应满足m＞h（1）=e，
∴m的取值范围是（e，+∞）．
（ii）∵f（a）=ma²-2e^a，且f"（a）=2ma-2e^a=0，
∴f(a)=

ea

a

•a2-2ea=a•ea-2ea=ea(a-2)，
令g（x）=f′（x）=2mx-2e^x，g′（x）=2（m-e^x），
∵g（0）=-2＜0，g（x）在区间（0，lnm）上单调递增，g（x）在（lnm，+∞）上递减，g（1）=2（m-e）＞0，∴a∈（0，1），
设φ（x）=e^x（x-2）（0＜x＜1），则φ"（x）=e^x（x-1）＜0，φ（x）在（0，1）上单调递减，
∴φ（1）＜φ（a）＜φ（0），即-e＜f（a）＜-2．