已知m∈R,函数f(x)=mx2-2ex.(Ⅰ)当m=2时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求m的取值范围.
题型:大连一模难度:来源:
已知m∈R,函数f(x)=mx2-2ex. (Ⅰ)当m=2时,求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求m的取值范围. |
答案
(Ⅰ)m=2时,f(x)=2x2-2ex,f"(x)=4x-2ex=2(2x-ex). 令g(x)=2x-ex,g"(x)=2-ex,(2分) 当x∈(-∞,ln2)时,g"(x)>0,x∈(ln2,+∞)时,g"(x)<0 ∴g(x)≤g(ln2)=2ln2-2<0. ∴f"(x)<0.∴f(x)在(-∞,+∞)上是单调递减函数.(4分) (Ⅱ)①若f(x)有两个极值点a,b(a<b), 则a,b是方程f"(x)=2mx-2ex=0的两不等实根. ∵x=0显然不是方程的根,∴m=有两不等实根.(6分) 令h(x)=,则h′(x)= 当x∈(-∞,0)时,h"(x)<0,h(x)单调递减,h(x)∈(-∞,0), 当x∈(0,1)时,h"(x)<0,h(x)单调递减, x∈(1,+∞)时,h"(x)>0,h(x)单调递增, 要使m=有两不等实根,应满足m>h(1)=e, ∴m的取值范围是(e,+∞)…(12分) |
举一反三
已知函数f(x)=x2+alnx. (1)当a=-2e时,求函数f(x)的单调区间和极值. (2)若函数g(x)=f(x)+在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围. |
已知函数f(x)=x2-alnx(a∈R). (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)设g(x)=f(x)+2x,若g(x)在[1,e]上不单调且仅在x=e处取得最大值,求a的取值范围. |
已知函数f(x)=ax2-3x+lnx(a>0) (1)若曲线y=f(x)在点P(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)在区间[,2]上的最值; (2)若函数f(x)在定义域内是单调函数,求a的取值范围. |
已知函数f(x)= (1)当t=5时,求函数f(x)的单调区间; (2)若存在t∈[0,1],使得对任意x∈[-4,m],不等式f(x)≤x成立,求整数m的最大值. |
已知三次函数f(x)=4x3+ax2+bx+c(a,b,c∈R) (1)如果f(x)是奇函数,过点(2,10)作y=f(x)图象的切线l,若这样的切线有三条,求实数b的取值范围; (2)当-1≤x≤1时有-1≤f(x)≤1,求a,b,c的所有可能的取值. |
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