设函数f(x)=ln(2x+3)+x2(1)讨论f(x)的单调性;(2)求f(x)在区间[-34,14]的最大值和最小值.
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设函数f(x)=ln(2x+3)+x2(1)讨论f(x)的单调性;(2)求f(x)在区间[-34,14]的最大值和最小值.
题型:海南
难度:
来源:
设函数f(x)=ln(2x+3)+x
2
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)求f(x)在区间[-
3
4
,
1
4
]的最大值和最小值.
答案
f(x)的定义域为(-
3
2
,+∞)
(1)f′(x)=
2
2x+3
+2x=
4
x
2
+6x+2
2x+3
当-
3
2
<x<-1时,f′(x)>0;
当-1<x<-
1
2
时,f′(x)<0;
当x>-
1
2
时,f′(x)>0
从而,f(x)在区间(-
3
2
,-1),(-
1
2
,+∞)上单调递增,在区间(-1,-
1
2
)上单调递减
(2)由(1)知f(x)在区间[-
3
4
,
1
4
]的最小值为f(-
1
2
)=ln2+
1
4
又f(-
3
4
)-f(
1
4
)=ln
3
2
+
9
16
-ln
7
2
-
1
16
=ln
3
7
+
1
2
=
1
2
(1-ln
49
9
)<0
所以f(x)在区间[-
3
4
,
1
4
]的最大值为f(
1
4
)=
1
16
+ln
7
2
.
举一反三
已知函数f(x)=x-xlnx,g(x)=f(x)-xf′(a),其中f′(a)表示函数f(x)在x=a处的导数,a为正常数.
(1)求g(x)的单调区间;
(2)对任意的正实数x
1
,x
2
,且x
1
<x
2
,证明:(x
2
-x
1
)f′(x
2
)<f(x
2
)-f(x
1
)<(x
2
-x
1
)f′(x
1
);
(3)对任意的n∈N
*
,且n≥2,证明:
1
ln2
+
1
ln3
+…+
1
lnn
<
1-f(n+1)
ln2•lnn
.
题型:河西区一模
难度:
|
查看答案
已知m∈R,函数f(x)=mx
2
-2e
x
.
(Ⅰ)当m=2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两极值点a,b(a<b),(ⅰ)求m的取值范围;(ⅱ)求证:-e<f(a)<-2.
题型:大连一模
难度:
|
查看答案
已知a<2,
f(x)=x-alnx-
a-1
x
,g(x)=
1
2
x
2
+
e
x
-x
e
x
.(注:e是自然对数的底)
(1)求f(x)的单调区间;
(2)若存在x
1
∈[e,e
2
],使得对任意的x
2
∈[-2,0],f(x
1
)<g(x
2
)恒成立,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知m∈R,函数f(x)=mx
2
-2e
x
.
(Ⅰ)当m=2时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若f(x)有两个极值点,求m的取值范围.
题型:大连一模
难度:
|
查看答案
已知函数f(x)=x
2
+alnx.
(1)当a=-2e时,求函数f(x)的单调区间和极值.
(2)若函数
g(x)=f(x)+
2
x
在[1,4]上是减函数,求实数a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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