(I)因为f(x)=ln(1+x)-x,所以函数定义域为(-1,+∞),且f′(x)=-1=. 由f′(x)>0得-1<x<0,f(x)的单调递增区间为(-1,0); 由f’(x)<0得x>0,f(x)的单调递减区间为(0,+∞). (II)因为f(x)在[0,n]上是减函数,所以bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i)(-)=(-)= >=1. 又lim(-)==1, 因此c<1,即实数c的取值范围是(-∞,1). (Ⅱ)因为f(x)在[0,n]上是减函数,所以bn=f(n)=ln(1+n)-n, 则an=ln(1+n)-bn=ln(1+n)-ln(1+n)+n=n. (i)因为<-对n∈N*恒成立.所以<-对n∈N*恒成立. 则c<n+2-对n∈N*恒成立. 设g(n)=n+2-,n∈N*,则c<g(n)对n∈N*恒成立. 考虑g(x)=x+2-,x∈[1,+∞). 因为g′(x)=1-(x2+2x)-•(2x+2)=1-<1-=0, 所以g(x)在[1,+∞)内是减函数;则当n∈N*时,g(n)随n的增大而减小, 又因为g(n)=(n+2-)===1. 所以对一切n∈N,g(n)>1因此c≤1,即实数c的取值范围是(-∞,1]. (ⅱ)由(ⅰ)知<-. 下面用数学归纳法证明不等式<(n∈N+) ①当n=1时,左边=,右边=,左边<右边.不等式成立. ②假设当n=k时,不等式成立.即<. 当n=k+1时,
1•3•5(2k-1)(2k+1) | 2•4•6(2k)(2k+2) | <•==• =•<=, 即n=k+1时,不等式成立 综合①、②得,不等式<(n∈N*)成立. 所以<-+++<-+-=+=-1. 即+++<-1(n∈N*). |