已知函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？（3

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已知函数f（x）=axx2+b在x=1处取得极值2．（1）求函数f（x）的解析式；（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？（3

题型：不详难度：来源：
已知函数f（x）=
ax
x2+b
在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）实数m满足什么条件时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增？
（3）是否存在这样的实数m，同时满足：①m≤1；②当x∈（-∞，m]时，f（x）≥m恒成立．若存在，请求出m的取值范围；若不存在，说明理由．
答案
（1）已知函数f（x）=
ax
x2+b
，
∴f′(x)=
a(x2+b)-ax(2x)
(x2+b)2
．…（2分）
又函数f（x）在x=1处取得极值2，
∴





f′(1)=0
f(1)=2
，
即





a(1+b)-2a=0
a
1+b
=2
⇒





a=4
b=1.
，
∴f(x)=
4x
x2+1
．…（4分）
（2）由f′(x)=
4(x2+1)-4x(2x)
(x2+1)2
=
4(1-x2)
(x2+1)2
=0⇒x=±1．…（5分）
举一反三
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x（-∞，-1）-1（-1，1）1（1，+∞）
f"（x）-0+0-
f（x）单调递减极小值-2单调递增极大值2单调递减
函数f（x）=2x3-3x2+a的极大值为6，那么a的值是（　　）
A．5B．0C．6D．1
函数f（x）=x-ln（x+1）的减区间是（　　）
A．（-∞，0）B．（-∞，-1）C．（-1，0）D．（0，1）
已知函数f（x）=x2+2aln（1-x）（a∈R），g（x）=f（x）-x2+x．
（1）当a=
1
2
时，求函数g（x）的单调区间和极值；
（2）若f（x）在[-1，1）上是单调函数，求实数a的取值范围；
（3）若数列{an}满足a1=1，且（n+1）an+1=nan，Sn为数列{an}的前n项和，求证：当n≥2时，Sn＜1+lnn．
已知f(x)=
1
2
x2+4lnx-5x，f′（x）是f（x）的导数．
（Ⅰ）求y=f（x）的极值；
（Ⅱ）求f′（x）与f（x）单调性相同的区间．
图是函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象，给出下列命题：
①-3是函数y=f（x）的极值点；
②-1是函数y=f（x）的最小值点；
③y=f（x）在x=0处切线的斜率小于零；
④y=f（x）在区间（-3，1）上单调递增．
则正确命题的序号是（　　）
A．①②B．②③C．③④D．①④
魔方格