已知函数f(x)=x2+2aln(1-x)(a∈R),g(x)=f(x)-x2+x.(1)当a=12时,求函数g(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[-1
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已知函数f(x)=x2+2aln(1-x)(a∈R),g(x)=f(x)-x2+x.(1)当a=12时,求函数g(x)的单调区间和极值;(2)若f(x)在[-1
题型:不详
难度:
来源:
已知函数f(x)=x
2
+2aln(1-x)(a∈R),g(x)=f(x)-x
2
+x.
(1)当
a=
1
2
时,求函数g(x)的单调区间和极值;
(2)若f(x)在[-1,1)上是单调函数,求实数a的取值范围;
(3)若数列{a
n
}满足a
1
=1,且(n+1)a
n+1
=na
n
,S
n
为数列{a
n
}的前n项和,求证:当n≥2时,S
n
<1+lnn.
答案
(1)f(x)=ln(1-x)+x,定义域为(-∞,1),
g′(x)=1-
1
1-x
,令g"(x)=0得x=0,
可以列表,也可以直接研究g"(x)的正负,得g(x)的单调递增区间为(-∞,0);
单调递减区间为(0,1);x=0时g(x)有极大值0.
(2)
f′(x)=2x-
2a
1-x
,若f"(x)≥0,即
2x-
2a
1-x
≥0
⇒a≤[x(1-x)]
min
⇒a≤-2,
若f"(x)≤0,即
2x-
2a
1-x
≤0
⇒a≥[x(1-x)
]
max
⇒a≥
1
4
,
所以a≤-2或
a≥
1
4
.
(3)证明:由(n+1)a
n+1
=na
n
,用累乘法得
a
n
=
1
n
,
由(1)知当x∈(0,1)时g"(x)<0又g(0)=0,得g(x)=ln(1-x)+x<g(0)=0,得x<-ln(1-x)*
n≥2⇒
1
n
∈(0,1)
,
x=
1
n
代入*得
1
n
<ln
n
n-1
S
n
=1+
1
2
+
1
3
+…+
1
n
<1+ln
2
1
+ln
3
2
+…+ln
n
n-1
=1+ln(
2
1
×
3
2
×…×
n
n-1
)=1+lnn
,
所以当n≥2时,S
n
<1+lnn.…(14分)
举一反三
已知
f(x)=
1
2
x
2
+4lnx-5x
,f′(x)是f(x)的导数.
(Ⅰ)求y=f(x)的极值;
(Ⅱ)求f′(x)与f(x)单调性相同的区间.
题型:不详
难度:
|
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图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列命题:
①-3是函数y=f(x)的极值点;
②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;
④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增.
则正确命题的序号是( )
A.①②
B.②③
C.③④
D.①④
题型:不详
难度:
|
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已知
f(x)=
1
3
(2m-1)
x
3
+2m
x
2
-5
m
2
x-1
的极值点是-5,1.
(Ⅰ)求实数m的值;
(Ⅱ)求y=f(x)的递增区间.
题型:不详
难度:
|
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函数
f(x)=
1
3
a
x
3
+
1
2
a
x
2
-2ax+2a+1
的图象经过四个象限,则实数a的取值范围是( )
A.
a>-
3
16
B.
-
6
5
<a<-
3
16
C.
a>-
6
5
D.
-
6
5
≤a≤-
3
16
题型:宁德模拟
难度:
|
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已知
f(x)=
x
e
x
(e是自然对数的底数),
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设a
n
=f(n),求数列{a
n
}的前n项和S
n
,并证明
e(
e
n
-1)-n(e-1)
(e-1)
2
e
n
≤
n
e
.
题型:不详
难度:
|
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