(2013•德州二模)已知函数f(x)=a(x2-2x+1)+1nx+1.(I)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对∀x∈[1,+∞)f(x)≥
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(2013•德州二模)已知函数f(x)=a(x2-2x+1)+1nx+1.(I)当a=-14时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若对∀x∈[1,+∞)f(x)≥
题型:不详
难度:
来源:
(2013•德州二模)已知函数f(x)=a(x
2
-2x+1)+1nx+1.
(I)当a=
-
1
4
时,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若对∀x∈[1,+∞)f(x)≥x恒成立,求实数a的取值范围.
答案
(I)当a=
-
1
4
时,f(x)=
-
1
4
(x
2
-2x+1)+1nx+1
∴
f′(x)=-
(x-2)(x+1)
2x
∵x>0,x+1>0
∴当0<x<2时,f′(x)>0,当x>2时,f′(x)<0,
∴f(x)的单调递增区间为(0,2),单调递减区间为(2,+∞);
(II)当x≥1时,a(x
2
-2x+1)+1nx+1≥x恒成立,即当x≥1时,a(x
2
-2x+1)+1nx-x+1≥0恒成立
令h(x)=a(x
2
-2x+1)+1nx-x+1,只需h(x)≥0即可
求导函数,可得
h′(x)=
(2ax-1)(x-1)
x
(x>1)
(1)若a≤0,∵x>1时,h′(x)<0
∴h(x)在(1,+∞)上单调递减
∴h(x)≤h(1)=0,不满足题意;
(2)若a>0,令h′(x)=0,可得
x=
1
2a
①0<
1
2a
≤1,即a≥
1
2
时,h(x)在(1,+∞)上为增函数
∴x≥1时,h(x)≥h(1)=0,满足题意;
②
1
2a
>1
,即0<a<
1
2
,h(x)在(1,
1
2a
)上单调递减
∴1<x<
1
2a
时,h(x)≤h(1)=0,不满足题意;
综上,a的取值范围是[
1
2
,+∞).
举一反三
已知函数
f(x)=
x
e
x
(x>0)
(1)求函数f(x)的单调区间.
(2)设P为函数f(x)图象上的一点,以线段OP为母线绕x轴旋转得到几何体M,求几何体M的体积的最大值.
(3)如果0<x
1
<x
2
,且f(x
1
)=f(x
2
),试比较f(x
2
)与f(2-x
1
)的大小.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
2
[tln(x+2)-ln(x-2)],且f(x)≥f(4)恒成立.
(1)求t的值;
(2)求x为何值时,f(x)在[3,7]上取得最大值;
(3)设F(x)=aln(x-1)-f(x),若F(x)是单调递增函数,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
lnx-
a
x
(1)求函数f(x)的单调增区间.
(2)若函数f(x)在[1,e]上的最小值为
3
2
,求实数a的值.
题型:大同一模
难度:
|
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如图是导函数y=f′(x)的图象,则下列命题错误的是( )
A.导函数y=f′(x)在x=x
1
处有极小值
B.导函数y=f′(x)在x=x
2
处有极大值
C.函数y=f(x)在x=x
3
处有极小值
D.函数y=f(x)在x=x
4
处有极小值
题型:不详
难度:
|
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已知函数f(x)=
1
2
x
2
-alnx(a∈R)
(1)若函数f(x)在x=2处的切线方程为y=x+b,求a,b的值.
(2)若函数f(x)在(1,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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