解:(I)函数f(x)的定义域为(0,+∞), f"(x)= =﹣ , ①若a>0,则由f"(x)=0,得x= ,且当x∈(0, )时,f"(x)>0, 当x∈( ,+∞)时,f"(x)<0,所以f(x)在(0, )单调递增,在( ,+∞)上单调递减; ②当a≤0时,f(x)>0恒 成立,因此f(x)在(0,+∞)单调递增; (II)设函数g(x)=f( +x)﹣f( ﹣x),则g(x)=ln(1+ax)﹣ln(1﹣ax)﹣2ax, g"(x)= = , 当x∈(0, )时,g"(x)>0,而g(0)=0,所以g(x)>0, 故当0<x< 时,f( +x)>f( ﹣x); (III)由(I)可得,当a≤0时,函数y=f(x)的图象与x轴至多有一个交点, 故a>0,从而f(x)的最大值为f( ),且f( )>0, 不妨设A(x1,0),B(x2,0),0<x1<x2,则0<x1< <x2, 由(II)得,f( ﹣x1)=f( )>f(x1)=f(x2)=0,又f(x)在( ,+∞)单调递减, ∴ ﹣x1<x2,于是x0= , 由(I)知,f"( x0)<0. |