已知函数f(x)=x3+3ax﹣1的导函数为f ′(x),g(x)=f ′(x)﹣ax﹣3.(1)当a=﹣2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对满足﹣1≤a

已知函数f(x)=x3+3ax﹣1的导函数为f ′(x),g(x)=f ′(x)﹣ax﹣3.(1)当a=﹣2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若对满足﹣1≤a

题型:四川省月考题难度:来源:
已知函数f(x)=x3+3ax﹣1的导函数为f ′(x),g(x)=f ′(x)﹣ax﹣3.
(1)当a=﹣2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对满足﹣1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围;
(3)若xg′(x)+lnx>0对一切x≥2恒成立,求实数a的取值范围.
答案

解:(1)当a=﹣2时,f "(x)=3x2﹣6.令f "(x)=0得
故当或x>时  f "(x)>0,f "(x)单调递增;
时   f "(x)<0,f(x)单调递减.
所以函数f "(x)的单调递增区间为(,单调递减区间为
(2)因f "(x)=3a2+3a,故g(x)=3x2﹣ax+3a﹣3.
令g(x)=h(a)=a(3﹣x)+3x2﹣3,要使h(a)<0对满足﹣1≤a≤1的一切a成立,

解得
(3)因为g(x")=6x﹣a,
所以x(6x﹣a)+lnx>0即对一切x≥2恒成立.

令6x2+1﹣lnx=φ(x),
因为x≥2,所以φ"(x)>0,
故φ(x)在[2,+∞)单调递增,有φ(x)≥ φ(2)=25﹣ln2>0.
因此h"(x)>0,从而
a


举一反三
如果函数f(x)=ax3﹣x2+x﹣5在(﹣∞,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是   [     ]
A.(0,+∞)  
B.[0,+∞)  
C.(,+∞)  
D.[,+∞)
题型:广东省模拟题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=(x+1)lnx.
(1)求f(x)在x=1处的切线方程;
(2)设,对任意x∈(0,1),g(x)<﹣2,求实数a的取值范围.
题型:安徽省模拟题难度:| 查看答案
设f′(x)是函数f(x)的导函数,将y=f(x)和y=f′(x)的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是 [     ]
A.
B.
C.
D.
题型:北京期中题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=ax3+bx2的图象经过点M(1,4),曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直.
(1)求实数a,b的值;
(2)若函数f(x)在区间[m,m+1]上单调递增,求m的取值范围.
题型:河南省模拟题难度:| 查看答案
已知函数
(1)讨论函数f(x)的奇偶性,并说明理由;
(2)若函数f(x)在x∈[3,+∞)上为增函数,求a的取值范围.
题型:山东省模拟题难度:| 查看答案
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