已知函数f（x）=ax3+bx2的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直． （1）求实数a，b的值； （2）若函数f（x）在区间[

题型：河南省模拟题难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．
（1）求实数a，b的值；
（2）若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

答案

解：（1）∵f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），
∴a+b              ①式 
f "（x）=3ax²+2bx，则f "（1）=3a+2b
由条件   ②式
由①②式解得a=1，b=3
（2）f（x）=x³+3x²，f "（x）=3x²+6x，
令f "（x）=3x²+6x≥0 得x≥0或x≤﹣2，
∵函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增
∴[m，m+1]（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）
∴m≥0或m+1≤﹣2
∴m≥0或m≤﹣3