已知函数f(x)=x2+mlnx(m∈R,x>0),(1)若f(x)在x=1处取得极值,求f(x)的单调区间;(2)若m=2,令h(x)=f(x)-3x,证明:
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已知函数f(x)=x2+mlnx(m∈R,x>0),(1)若f(x)在x=1处取得极值,求f(x)的单调区间;(2)若m=2,令h(x)=f(x)-3x,证明:
题型:陕西省模拟题
难度:
来源:
已知函数f(x)=
x
2
+mlnx(m∈R,x>0),
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求f(x)的单调区间;
(2)若m=2,令h(x)=f(x)-3x,证明:对任意的x
1
,x
2
∈[1,2],恒有|h(x
1
)-h(x
2
)|<1。
答案
解:(1)
,
,
当
时,
;当
时,
;
所以f(x)的单增区间是
单减区间是
。
(2)
,
,
∴
,h(x)是[1,2]的减函数,
∴
,
,
,
下面只要证明
即可,而这个易证,所以命题成立。
举一反三
已知函数f(x)=(x
2
+bx+c)e
x
在点P(0,f(0))处的切线方程为2x+y-1=0,
(Ⅰ)求b,c的值;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若方程f(x)=m恰有两个不等的实根,求m的取值范围。
题型:陕西省模拟题
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|
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已知函数f(x)=
-ax(a为常数,a>0)。
(1)若
是函数f(x)的一个极值点,求a的值;
(2)求证:当0<a≤2时,f(x)在
上是增函数;
(3)若对任意的a∈(1,2),总存在
,使不等式f(x
0
)>m(1-a
2
)成立,求实数m的取值范围。
题型:陕西省模拟题
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函数y=f (x )=-x
3
+ax
2
+b(a,b∈R ),
(Ⅰ)要使y=f(x)在(0,1)上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅱ)当a>0时,若函数满足y
极小值
=1,y
极大值
=
,求函数y=f(x)的解析式;
(Ⅲ)若x∈[0,1]时,y=f(x)图象上任意一点处的切线倾斜角为θ,求当0≤θ≤
时a的取值范围。
题型:陕西省模拟题
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已知函数f(x)=ln(ax+1)+
,x≥0,其中a>0,
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围。
题型:陕西省模拟题
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已知函数f(x)=x
2
+
+alnx(x>0),
(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅱ)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x
1
、x
2
总有以下不等式
成立,则称函数y=f(x)为区间D上的“下凸函数”。试证当a≤0时,f(x)为“下凸函数”。
题型:陕西省模拟题
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|
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