已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0,(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)若f(x)的最小值为1

已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0,(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间;(Ⅲ)若f(x)的最小值为1

题型:陕西省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=ln(ax+1)+,x≥0,其中a>0,
(Ⅰ)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围。
答案
(Ⅰ)
∵f(x)在x=1处取得极值,

解得a=1;
(Ⅱ)
∵x≥0,a>0,
∴ax+1>0,
①当a≥2时,在区间(0,+∞)上,f′(x)>0,∴f(x)的单调增区间为(0,+∞);
②当0<a<2时,由f′(x)>0解得
由f′(x)<0,解得
∴f(x)的单调减区间为,单调增区间为
(Ⅲ)当a≥2时,由(Ⅱ)①知,f(x)的最小值为f(0)=1;
当0<a<2时,由(Ⅱ)②知,
f(x)在处取得最小值
综上可知,若f(x)的最小值为1,则a的取值范围是
举一反三
已知函数f(x)=x2++alnx(x>0),
(Ⅰ)若f(x)在[1,+∞)上单调递增,求a的取值范围;
(Ⅱ)若定义在区间D上的函数y=f(x)对于区间D上的任意两个值x1、x2总有以下不等式成立,则称函数y=f(x)为区间D上的“下凸函数”。试证当a≤0时,f(x)为“下凸函数”。
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已知a为实数,x=1是函数f(x)=x2-6x+alnx的一个极值点。
(Ⅰ)若函数f(x)在区间(2m-1,m+1)上单调递减,求实数m的取值范围;
(Ⅱ)设函数,对于任意x≠0和x1,x2∈[1,5],有不等式|λg(x)|-5ln5≥| f(x1)-f(x2)|恒成立,求实数λ的取值范围。
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(1)证明不等式:
(2)已知函数f(x)=ln(1+x)-在(0,+∞)上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)若关于x的不等式在[0,+∞)上恒成立,求实数b的最大值。
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已知函数f(x)=mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1),
(1)求y=f(x)在点P(0,1)处的切线方程;
(2)设g(x)=f(x)+x-1仅有一个零点,求实数m的值;
(3)试探究函数f(x)是否存在单调递减区间?若有,设其单调区间为[t,s] ,试求s-t的取值范围?若没有,请说明理由。
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已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn-(x+a)n(x>0)是关于x的函数,
(1)判定函数fn(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)对任意n≥a,证明fn+1′(n+1)<(n+1)fn′(n)。
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