已知函数f(x)=mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1),(1)求y=f(x)在点P(0,1)处的切线方程;(2)设g(x)=f(x)+x-1仅有一个零点,

已知函数f(x)=mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1),(1)求y=f(x)在点P(0,1)处的切线方程;(2)设g(x)=f(x)+x-1仅有一个零点,

题型:湖北省模拟题难度:来源:
已知函数f(x)=mx2-2x+1+ln(x+1)(m≥1),
(1)求y=f(x)在点P(0,1)处的切线方程;
(2)设g(x)=f(x)+x-1仅有一个零点,求实数m的值;
(3)试探究函数f(x)是否存在单调递减区间?若有,设其单调区间为[t,s] ,试求s-t的取值范围?若没有,请说明理由。
答案
解:(1)∵点P在函数y=f(x)上,
由f x)=得:
故切线方程为:y=-x+1;
(2)由g(x)=f(x)+x-1=可知:定义域为(-1,+∞),
且g(0)=0,显然x=0为y=g(x)的一个零点;

①当m=1时,
即函数y=g(x)在(-1,+∞)上单调递增,g(0)=0,
故仅有一个零点,满足题意;
②当m>1时,则,列表分析:

∵x→-1时,g(x)→-∞,
∴g(x)在上有一根,这与y=g(x)仅有一根矛盾,故此种情况不符题意;
(3)假设y=f(x)存在单调区间,
由f(x)=得:


,h(-1)=m+2-m-1=1>0,
∴h(x)=0在(-1,+∞)上一定存在两个不同的实数根s,t,
的解集为(t,s),
即函数f(x)存在单调区间[t,s],
则s-t=
由m≥1可得:s-t
举一反三
已知常数a>0,n为正整数,fn(x)=xn-(x+a)n(x>0)是关于x的函数,
(1)判定函数fn(x)的单调性,并证明你的结论;
(2)对任意n≥a,证明fn+1′(n+1)<(n+1)fn′(n)。
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设函数在[1,+∞)上是增函数,
(1)求正实数a的取值范围;
(2)设b>0,a>1,求证:
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已知f(x)=(x∈R)在区间[-1,1]上是增函数,
(Ⅰ)求实数a的值组成的集合A;
(Ⅱ)设关于x的方程f(x)=的两个非零实根为x1、x2,试问:是否存在实数m,使得不等式m2+tm+1≥|x1-x2|对任意a∈A及t∈[-1,1]恒成立?若存在,求m的取值范围;若不存在,请说明理由。
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已知函数y=f(x-1)的图象关于点(1,0)对称,且当x∈(-∞,0)时,f(x)+xf′(x)<0成立(其中f′(x)是f(x)的导函数),若a=(30.3)·f(30.3),b=(logπ3)·f(logπ3),,则a,b,c的大小关系是

[     ]

A.a>b>c
B.c>b>a
C.c>a>b
D.a>c>b
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已知函数f(x)=ax2-(2a+1)x+2lnx(a∈R),
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1和x=3处的切线互相平行,求a的值;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间。
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