解:(Ⅰ), 要使f(x)在(0,1)上单调递增, 则x∈(0,1)时,f′(x)≥0恒成立, ∴≥0, 即当x∈(0,1)时,≥恒成立, ∴≥,即a的取值范围是[∞。 (Ⅱ)由,令f′(x)=0,得x=0或=, ∵a>0,∴当x变化时,f′(x)、f(x)的变化情况如下表:
∴y极小值=f(0)=b=1,y极大值==+·+1=, ∴b=1,a=1, 故f(x)=。 (Ⅲ)当x∈[0,1]时,tanθ=, 由θ∈[0,],得0≤f′(x)≤1, 即x∈[0,1]时,0≤≤1恒成立, 当x=0时,a∈R, 当x∈(0,1]时,由≥0恒成立, 由(Ⅰ)知≥, 由≤1恒成立,a≤(3x+), ∴≤(等号在=时取得); 综上,≤≤。 |