设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f(x)=,g(x)=f(x)+f′(x),求g(x)的单调区间和最小值。
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设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f(x)=,g(x)=f(x)+f′(x),求g(x)的单调区间和最小值。
题型:0128 期末题
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设函数f(x)定义在(0,+∞)上,f(1)=0,导函数f(x)=
,g(x)=f(x)+f′(x),求g(x)的单调区间和最小值。
答案
解:由题设易知
,
令g′(x)=0,得x=1,
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,故(0,1)是g(x)的单调减区间;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0 ,故(1,+∞)是g(x)的单调增区间,
因此,x=1是g(x)的唯一极值点,且为极小值点,从而是最小值点,
所以最小值为g(1)=1。
举一反三
设f(x)=
x
3
+
x
2
+2ax,若f(x)在
存在单调增区间,求a的取值范围。
题型:0128 期末题
难度:
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设函数f(x)=xe
x
,求:
(Ⅰ)曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(Ⅱ)函数f(x)的单调递增区间。
题型:北京期末题
难度:
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已知f(x)=x
3
+bx
2
+cx+d在(-∞,0]上是增函数,在(0,2]上是减函数,且f(x)=0有三个根α,2,β(α≤2≤β)。
(Ⅰ)求c的值,并求出b和d的取值范围;
(Ⅱ)求证:f(x)≥2;
(Ⅲ)求β-α的取值范围,并写出当β-α取最小值时的f(x)的解析式。
题型:北京期末题
难度:
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下图是函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象,给出下列命题:
①-3是函数y=f(x)的极值点;②-1是函数y=f(x)的最小值点;
③y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零;④y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增;
则正确命题的序号是
[ ]
A.①②
B.①④
C.②③
D.③④
题型:北京期末题
难度:
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已知二次函数f(x)=ax
2
+bx-3在x=1处取得极值,且在(0,-3)点处的切线与直线2x+y=0平行,
(Ⅰ)求f(x)的解析式;
(Ⅱ)求函数g(x)=xf(x)+4x的单调递增区间。
题型:北京期末题
难度:
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