已知函数f(x)=lnx+x2。(1)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围; (2)在(1)的条件下,若a>1,h(x)
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已知函数f(x)=lnx+x2。(1)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围; (2)在(1)的条件下,若a>1,h(x)
题型:山东省模拟题
难度:
来源:
已知函数f(x)=lnx+x
2
。
(1)若函数g(x)=f(x)-ax在其定义域内为增函数,求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,若a>1,h(x)=x
3
-3ax,x∈[1,2],求h(x)的极小值;
(3)设F(x)=2f(x)-3x
2
-kx(k∈R),若函数F(x)存在两个零点,m,n(0<m<n),且2x
0
=m+n,证明:函数F(x)在点(x
0
,F(x
0
))处的切线不可能平行于x轴。
答案
解:(1)g(x)=f(x)-ax=lnx+x
2
-ax,
由题意,知g"(x)≥0,x∈(0,+∞)恒成立,
即
又x>0,
,当且仅当
时等号成立
故
,
所以
。
(2)由(1)知,
由h"(x)=0,得
或
(舍去),
∴
∴
①若
,则h"(x)<0,h(x)单调递减;
②若
,则h"(x)>0,h(x)单调递增
故当
时,h(x)取得极小值,
极小值为
。
(3)假设F(x)在(x
0
,F(x
0
))的切线平行于x轴,
其中F(x)=2lnx-x
2
-kx
结合题意有
,
①-②得
所以
,
由④得
所以
设
∈(0,1),⑤式变为
(u∈(0,1)),
设
所以函数
在(0,1)上单调递增,
因此,
,即
也就是,
,此式与⑤矛盾,
所以F(x)在(x
0
,F(x
0
))处的切线不能平行于x轴。
举一反三
已知函数f(x)=x|x
2
-3|,x∈[0,m],其中m∈R,且m>0,
(Ⅰ)若m<1,求证:函数f(x)是增函数;
(Ⅱ)如果函数f(x)的值域是[0,2],试求m的取值范围;
(Ⅲ)如果函数f(x)的值域是[0,λm
2
],试求实数λ的最小值。
题型:江苏模拟题
难度:
|
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设函数f(x)=x
2
+bln(x+1),其中b≠0。
(1)当
时,判断函数f(x)的定义域上的单调性;
(2)试讨论函数f(x)的极值情况,若极值存在,求出极值点。
题型:陕西省模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=
x
3
-ex
2
+mx+1(m∈R),
,
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)对任意x
1
,x
2
∈R
+
,若g(x
1
)<f′(x
2
)恒成立,求实数m的取值范围。
题型:模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=xe
x
。
(1)求f(x)的单调区间与极值;
(2)是否存在实数a,使得对于任意的x
1
,x
2
∈(a,+∞),且x
1
<x
2
,恒有
成立?若存在,求a的范围;若不存在,说明理由。
题型:福建省模拟题
难度:
|
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已知函数f(x)=x
2
+bsinx-2(b∈R),F(x)=f(x)+2,且对于任意实数x,恒有F(x-5)=F(5-x),
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)已知函数g(x)=f(x)+2(x+1)+ alnx在区间(0,1)上单调,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)函数h(x)=2lnx-
f(x)-k有几个零点?
题型:江西省模拟题
难度:
|
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