解:(Ⅰ)当m<1时,f(x)=x(3-x2)=3x-x3,
因为f′(x)=3-3x2=3(1-x2)>0,
所以f(x)是增函数;
(Ⅱ)令g(x)=x|x2-3|,x≥0,
则,
当时,由g′(x)=3-3x2=0得x=1,
所以g(x)在[0,1]上是增函数,在上是减函数;
当时,由g′(x) =3x2-3>0,所以g(x)在上是增函数,
所以当时,函数g(x)的最大值是g(1)=2,最小值是g(0)=,
从而0<m<1均不符合题意,且均符合题意;
当x≥0时,在时,f(x)∈[0,2];
在时,f(x)∈[0,f(m)];
这时f(x)的值域是[0,2]的充要条件是f(m)≤2,
即m3-3m≤2,(m-2)(m+1)2≤0,
解得,
综上所述,m的取值范围是[1,2]。
(Ⅲ)据(Ⅱ)知,当0<m<1时,函数f(x)的最大值是f(m)=3m-m3,
由题意知,3m-m3=λm2,即-m是减函数,
故λ的取值范围是(2,+∞);
当1≤m≤2时,函数f(x)的最大值是f(1)=2,
由题意知,2=λm2,即是减函数,故λ的取值范围是;
当m>2时,函数f(x)的最大值是f(m)=m3-3m,
由题意知,m3-3m=λm2,即λ=m-是增函数,
故λ的取值范围是;
综上所述,λ的最小值是,且此时m=2。
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