已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx.(I )若函数y=f(x)在处取得极值,求满足条件的a的值;(II)当a> -12时,f(x)在(1,2)上单

已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx.(I )若函数y=f(x)在处取得极值,求满足条件的a的值;(II)当a> -12时,f(x)在(1,2)上单

题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=ax2+(1-2a)x-lnx.
(I )若函数y=f(x)在处取得极值,求满足条件的a的值;
(II)当a> -
1
2
时,f(x)在(1,2)上单调递减,求a的取值范围;
(III)是否存在正实数a,使得函数y=f(x)在(
1
e
,e)
内有且只有两个零点?若存在,请求出a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
(I)f′(x)=2ax+1-2a-
1
x
=
(2ax+1)(x-1)
x

有已知得f′(2)=0即
(4a+1)(2-1)
2
=0

a=-
1
4
经检验a=-
1
4
符合题意

(II)f(x)的定义域为(0,+∞)
当a≥0时,由1<x<2知f′(x)>0∴f(x)在(1,2)递增,不符合题意
-
1
2
<a<0
时,∵-
1
2
<a<0∴-
1
2a
>1
又∵x>令f′(x)<0得1<x<-
1
2a

∵f(x)在(1,2)上递减∴-
1
2a
≥2
-
1
4
≤a<0

总之a∈[-
1
4
,0)

(III)令f′(x)=0
∵a>0解得x=1或x=-
1
2a
(舍)

当x∈(0,1)时,f′(x)<0,f(x)是减函数
当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)是增函数,
要使y=f(x)在(
1
e
,e
)内有且仅有两个零点,只需





f(
1
e
)>0
f(x)min<0
f(e)>0






a(
1
e
)
2
+(1-2a)
1
e
-ln
1
e
>0
a+1-2a-ln1<0
ae2+(1-2a)e-lne>0





a<
e+e2
2e-1
a>1
a>
1-e
e2-2e
e+e2
2e-1
-1=
e(e-1)+1
2e-1
>0
e+e2
2e-1
>1

1-e
e2-2e
<0

1<a<
e+e2
2e-1
举一反三
m为何值时,f(x)=x2+2mx+3m+4
(1)有且仅有一个零点
(2)有两个零点且均比-1大.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若sinθ,cosθ是方程4x2+2mx+m=0的两根,则sinθ+cosθ的值为(  )
A.


5
+1
2
B.


5
-1
2
C.


5
±1
2
D.-


5
+1
2
题型:单选题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=2x-3的零点为(  )
A.(
3
2
,0)
B.(0,
3
2
C.
3
2
D.
2
3
题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=ax+
b
x-1
-a(a∈R,a≠0)
在x=3处的切线方程为(2a-1)x-2y+3=0
(1)若g(x)=f(x+1),求证:曲线g(x)上的任意一点处的切线与直线x=0和直线y=ax围成的三角形面积为定值;
(2)若f(3)=3,是否存在实数m,k,使得f(x)+f(m-x)=k对于定义域内的任意x都成立;
题型:解答题难度:一般| 查看答案
下列函数中有两个不同零点的是(  )
A.y=lgxB.y=2xC.y=x2D.y=|x|-1
题型:单选题难度:简单| 查看答案
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