解:(Ⅰ)由题设得F(x)=x2+bsinx, ∵F(x-5)=F(5-x), 则F(-x)=F(x), 所以x2-bsinx=x2+bsinx, 所以bsinx=0对于任意实数x恒成立, ∴b=0, 故f(x)=x2-2; (Ⅱ)由g(x)=f(x)+2(x+1)+alnx=x2+2x+alnx, 求导数得g′(x), g(x)在(0,1)上恒单调,只需g′(x)≥0或g′(x)≤0在(0,1)上恒成立, 即2x2+2x+a≥0或2x2+2x+a≤0恒成立, 所以a≥-(2x2+2x)或a≤-(2x2+2x)在(0,1)上恒成立, 记u(x)=-(2x2+2x),0<x<1, 可知-4<u(x)<0, ∴a≥0或a≤-4; (Ⅲ)令y=,, 令y′>0,得, y′<0,得, ∴时,y有极大值ln2>0, x→0时,y→+∞,x→+∞时,y→-∞, ∴k>ln2时,h(x)无零点;k=ln2时,h(x)有一个零点; k<ln2时,h(x)有两个零点。 |