设函数。(1)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求函数f(x)的单调递增区间;(2)若对任意实数,m∈(0,+∞),不等式f"(x)>x2m2-(x2+
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设函数。 (1)若函数f(x)在x=1处取得极大值,求函数f(x)的单调递增区间; (2)若对任意实数,m∈(0,+∞),不等式f"(x)>x2m2-(x2+1)m+x2-x+1 恒成立,求x的取值范围。 |
答案
解:(1)f"(x)=m2x2-3x+(m+1) 由条件知f"(1)=0, 所以m2+m-2=0 故m=1或m=-2 当m=-2时,f(x)在x=1处取得极小值; 当m=1时,f(x)在x=1处取得极大值 综上可知,m=1, f"(x)=x2-3x+2 由f"(x)≥0,得x≤1或x≥2, 故f(x)的单调递增区间为(-∞,1],[2,+∞)。 (2)由已知有m2x2-3x+(m+1)>x2m2-(x2+1)m+x2-x+1, 即m(x2+2)-x2-2x>0对任意m∈(0,+∞)恒成立, 令g(m)=(x2+2)m-x2-2x, 则函数g(m)是关于m的一次函数, 由x2+2>0, 故g(x)在(0,+∞)上为增函数, 只需g(0)=-x2-2x≥0,得-2≤x≤0, 即使原不等式恒成立的x的取值范围是-2≤x≤0。 |
举一反三
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