已知函数f(x)=+x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠-1.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)设函数(e是自然对数的底数)。是否存在a,使g(

已知函数f(x)=+x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠-1.(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;(Ⅱ)设函数(e是自然对数的底数)。是否存在a,使g(

题型:湖南省高考真题难度:来源:
已知函数f(x)=+x+(a-1)lnx+15a,其中a<0,且a≠-1.
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性;
(Ⅱ)设函数(e是自然对数的底数)。是否存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数?若存在,求a的取值范围;若不存在,请说明理由.
答案
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),
(1)若-1<a<0,则当0<x<-a时,f′(x)>0;
当-a<x<1时,f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0,
故f(x)分别在(0,-a),(1,+∞)上单调递增,在(-a,1)上单调递减;
(2)若a<-1,仿(1)可得f(x)分别在(0,1),(-a,+∞)上单调递增,在(1,-a)上单调递减;
(Ⅱ)存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数,
事实上,设h(x)=(-2x3+3ax2+6ax-4a2-6a)ex(x∈R),
则h′(x)=[-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2]ex
再设m(x)=-2x3+3(a-2)x2+12ax-4a2(x∈R),
则当g(x)在[a,-a]上单调递减时,h(x)必在[a,0]上单调递减,所以h′(a)≤0,
由于ex>0,因此m(a)≤0,
而m(a)=a2(a+2),所以a≤-2,
此时,显然有g(x)在[a,-a]上为减函数,当且仅当f(x)在[1,-a]上为减函数,h(x)在[a,1]上为减函数,且h(1)≥e·f(1),
由(Ⅰ)知,当a≤-2时,f(x)在[1,-a]上为减函数, ①
,②
不难知道,
因m′(x)=-6x2+6(a-2)x+12a=-6(x+2)(x-a),
令 m′(x)=0,则x=a,或x=-2,而a≤-2,于是
(1)当a<-2时,若a<x<-2,则m′(x)>0;
若-2<x<1,则m′(x)<0,
因而m(x)在(a,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减;
(2)当a=-2时;m′(x)≤0,m(x)在(-2,1)上单调递减;
综合(1)、(2)知,当a≤-2时,m(x)在[a,1]上的最大值为m(-2)=-4a2-12a-8,
所以,,③
又对x∈[a,1],m(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得,
亦即h′(x)=0只有当a=-2时在x=-2取得.
因此,当a≤-2时,h(x)在[a,1]上为减函数,
从而由①,②, ③知,-3≤a≤-2;
综上所述,存在a,使g(x)在[a,-a]上为减函数,且a的取值范围为[-3,-2].
举一反三
设函数f(x)=sinx-cosx+x+1,0<x<2π,求函数f(x)的单调区间与极值。
题型:安徽省高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x4-3x2+6,
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)设点P在曲线y=f(x)上,若该曲线在点P处的切线l通过坐标原点,求l的方程.
题型:高考真题难度:| 查看答案
设f(x)是定义在区间(1,+∞)上的函数,其导函数为f(x)。如果存在实数a和函数h(x),其中h(x)对任意的x∈(1,+∞)都有h(x)>0,使得f′(x)=h(x)(x2-ax+1),则称函数f(x)具有性质P(a)。
(I)设函数,其中b为实数。
(i)求证:函数f(x)具有性质P(b);
(ii)求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)已知函数g(x)具有性质P(2)。给定x1,x2∈(1,+∞),x1<x2,设m为实数,α=mx1+(1-m)x2,β=(1-m)x1+mx2,且α>1,β>1,若|g(α)-g(β)|< |g(x1)-g(x2)|,求m的取值范围。
题型:江苏高考真题难度:| 查看答案
设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a,其中常数a>1.
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)若当x≥0时,f(x)>0恒成立,求a的取值范围.
题型:高考真题难度:| 查看答案
已知函数f(x)=x3-x2+ax+b的图象在点P(0,f(0))处的切线方程为y=3x-2。
(I)求实数a,b的值;
(Ⅱ)设g(x)=f(x)+是[2,+∞)上的增函数。
 (i)求实数m的最大值;
 (ii)当m取最大值时,是否存在点Q,使得过点Q的直线若能与曲线y=g(x)围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等?若存在,求出点Q 的坐标;若不存在,说明理由。
题型:福建省高考真题难度:| 查看答案
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