设函数f(x)=x3-(1+a)x2+4ax+24a，其中常数a＞1． (Ⅰ)讨论f(x)的单调性；(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．

题型：高考真题难度：来源：

设函数f(x)=x³-(1+a)x²+4ax+24a，其中常数a＞1．
(Ⅰ)讨论f(x)的单调性；
(Ⅱ)若当x≥0时，f(x)＞0恒成立，求a的取值范围．

答案

解：(I)f′(x)=x²-2(1+a)x+4a=(x-2)(x-2a)，
由a＞1知，当x＜2时，f′(x)＞0，故f(x）在区间（-∞，2）是增函数；
当2＜x＜2a时，f′(x)＜0，故f(x)在区间(2，2a)是减函数；
当x＞2a时，f′(x)＞0，故f(x)在区间(2a，+∞)是增函数，
综上，当a＞1时，f(x)在区间（-∞，2）和(2a，+∞)是增函数，在区间(2，2a)是减函数．
(Ⅱ)由(I)知，当x≥0时，f(x)在x=2a或x=0处取得最小值，
f(2a)=(2a)³-(1+a)(2a)²+4a·2a+24a，，
由假设知，即，
解得1＜a＜6，
故a的取值范围是(1，6)．