已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1。 (I)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x
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已知函数f(x)=(a+1)lnx+ax2+1。 (I)讨论函数f(x)的单调性; (Ⅱ)设a≤-2,证明:对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|。 |
答案
解:(Ⅰ)f(x)的定义域为
当a≥0时,,故f(x)在单调增加 当a≤-1时,,故f(x)在单调减少 当-1<a<0时,令,解得 则当时, 时, 故f(x)在单调增加,在单调减少; (Ⅱ)不妨假设x1>x2 由于a≤-2,故f(x)在(0,+∞)单调减少 所以|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|等价于 f(x2)-f(x1)≥4x1-4x2 即f(x2)+4x2≥f(x1)+4x1 令g(x)=f(x)+4x,则
于是 从而g(x)在(0,+∞)单调减少,故g(x1)≤g(x2) 即f(x1)+4x1≤f(x2)+4x2 故对任意x1,x2∈(0,+∞),|f(x1)-f(x2)|≥4|x1-x2|。 |
举一反三
已知函数f(x)=x3+ax2+x+1,a∈R, (Ⅰ)讨论函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)设函数f(x)在区间内是减函数,求a的取值范围。 |
已知函数。 (I)当a=-1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (Ⅱ)当时,讨论f(x)的单调性。 |
设函数,其中a>0。曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1。 (Ⅰ)确定b,c的值; (Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)。 证明:当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2)。 (Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围。 |
函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是( )。 |
设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,求a的取值范围. |
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