设函数,其中a>0。曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1。(Ⅰ)确定b,c的值;(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(

设函数,其中a>0。曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1。(Ⅰ)确定b,c的值;(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(

题型:湖北省高考真题难度:来源:
设函数,其中a>0。曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1。
(Ⅰ)确定b,c的值;
(Ⅱ)设曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及(x2,f(x2))处的切线都过点(0,2)。 证明:当x1≠x2时,f′(x1)≠f′(x2)。
(Ⅲ)若过点(0,2)可作曲线y=f(x)的三条不同切线,求a的取值范围。
答案
解:(Ⅰ)由
f(0)=c,f′(x)=x2-ax+b,f′(0)=b
又由曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线方程为y=1,
得f(0)=1,f′(0)=0,
故b=0,c=1。
(Ⅱ)
由于点(t,f(t))处的切线方程为y-f(t)=f′(t)(x-t),
而点(0,2)在切线上,所以2-f(t)=f"(x)(-t),
化简得
即t满足的方程为
下面用反证法证明,
假设f′(x1)=f′(x2),
由于曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))及 (x2,f(x2))处的切线都过点(0,2),
则下列等式成立:
由(3)得x1+x2=a,由(1)-(2)得

故由(4)得
此时矛盾
所以f′(x1)≠f′(x2);
(Ⅲ)由(Ⅱ0知,过点(0,2)可作y=f(x)的三条切线,
等价于方程2-f(t)=f"(t)(0-t)有三个相异的实根,
即等价于方程有三个相异的实根


由于a>0,故有

由g(t)的单调性知:要使g(t)=0有三个相异的实根,
当且仅当,即
∴a的取值范围是
举一反三
函数f(x)=xlnx(x>0)的单调递增区间是(    )。
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设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,求a的取值范围.
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两县城A和B相距20km,现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂,其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关,对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和,记点C到城A的距离xkm,建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为y,统计调查表明;垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比,比例系数为4;城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比,比例系数为k,当垃圾处理厂建在弧的中点时,对城A和城B,总影响度为0.065。
(1)将y表示成x的函数;
(2)讨论(1)中函数的单调性,并判断弧上是否存在一点,使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在,求出该点城A的距离;若不存在,说明理由。
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已知函数f(x)=x2(ax+b)(a,b∈R)在x=2时有极值,其图象在点(1,f(1))处的切线与直线3x+y =0平行,则函数f(x)的单调减区间为[     ]
A.(-∞,0)
B.(0,2)
C.(2,+∞)
D.(-∞,+∞)
题型:0112 期末题难度:| 查看答案
函数y=f(x)在定义域(-,3)内可导,其图像如图所示,记y=f(x)的导函数为y=f′(x),则不等式f′(x)≤0的解集为
[     ]
A.[-,1]∪[2,3)
B.[-1,]∪[]
C.[-]∪[1,2)
D.(-,-]∪[]∪[,3)
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