两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城

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两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A与对城B的影响度之和，记点C到城A的距离xkm，建在C处的垃圾处理厂对城B的影响度为y，统计调查表明；垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城B的平方成反比，比例系数为4；城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧的中点时，对城A和城B，总影响度为0.065。
（1）将y表示成x的函数；
（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点城A的距离；若不存在，说明理由。

答案

解析

解：（1）如图，由题意知AC⊥BC，BC²=400-x²，y=+
其中当x=10时，y=0.065，所以k=9
所以y表示成x的函数为；（2）y=，则
令y"=0得18x⁴=8（400-x²）²
所以x²=160，即x=
当0＜x＜4时，18x⁴＜8（400-x²）²，即y"＜0所以函数为单调减函数；
当时，18x⁴＞8（400-x²）²，即y"＞0所以函数为单调增函数。
设，则
∴
当且仅当，即时等号成立
∴当m=160，即时，取“=”，函数y有最小值
∴弧上存在一点，当x=4km时使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小。