设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,求a的取值范围.
题型:高考真题难度:来源:
设a为实数,函数f(x)=x3-ax2+(a2-1)x在(-∞,0)和(1,+∞)上都是增函数,求a的取值范围. |
答案
解:f′(x)=3x2-2ax+(a2-1), 其判别式△=4a2-12a2+12=12-8a2, (1)若△=12-8a2=0,即, 当或时,f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数, 所以。 (2)若△=12-8a2<0,恒有f′(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数, 所以,即; (3)若,即, 令f′(x)=0,解得, 当x∈(-∞,x1)或x∈(x2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数; 当x∈(x1,x2)时,f′(x)<0,f(x)为减函数, 依题意x1≥0且x2≤1, 由x1≥0得,解得; 由x2≤1得,解得; 从而; 综上,a的取值范围为, 即。 |
举一反三
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